Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите значение k, при котором векторы a = (1, −1, −1) и b = (1, k, 4) перпендикулярны.

a = (1, −1, −1)b = (1, k, 4)

k =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (−6, −1, 5) и b = (1, 3, −6).

a = (−6, −1, 5)b = (1, 3, −6)

A =

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mP = 25 kN в 3 mw = 5 kN/m от 0 до 6 m

M_A = kN·m

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 15 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 5,5 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mw₀ = 15 kN/mP = 80 kN в 5,5 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 80 N в точке A (300 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (100 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 80 NOA = 300 mmOB = 100 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 200 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 25 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 2500 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 2500 NAB = BC = 200 mmh = 25 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 8 kN/m от 0 до 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 0 m60 kN @ 6 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 300 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 200 mm. Толщина основания и полок 16 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 300 mmh = 200 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 144 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmвырез: 80 × 40 mmцентр отверстия: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: k = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = 1·1 + (−1)·k + (−1)·4 = 0

−3 + (−1)·k = 0

Найдите k

k = −(−3)/(−1) = −3

Ответ

k = −3

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 36,48

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−6) − 5·3 = −9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·1 − (−6)·(−6) = −31

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−6)·3 − (−1)·1 = −17

Площадь

A = |a × b| = √((−9)² + (−31)² + (−17)²) = 36,48

Ответ

A = 36,48

3.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 165 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 5·6 = 30 kN, x̄ = 3 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 25·3 + 30·3 = 165 kN·m

Ответ

M_A = 165 kN·m

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 620 kN·m

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·15·6 = 45 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 45·4 + 80·5,5 = 620 kN·m

Ответ

M_A = 620 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −8,485 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·2 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 4 = 6 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6/0,7071 = −8,485 kN

Ответ

F_AB = −8,485 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 21,56 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·5 − 30·2 → C_y = 14,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 14,38 = 20,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −14,38/0,5547 = −25,91 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25,91)·0,8321 = 21,56 kN

Ответ

F_AC = 21,56 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 253 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 80·300/100 = 240 N

Реакция в шарнире

O_x = 240 N, O_y = 80 N

F_O = √(240² + 80²) = 253 N

Ответ

F_O = 253 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 629,9 N

Угол звена

sin θ = 25/200 = 0,125, θ = 7,181°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 2520 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2500·tan θ = 629,9 N

Ответ

F = 629,9 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 28 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·8·4

R_B = 256/8 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 32 = 32 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 32·1 − 8·1·0,5 = 28 kN·m

Ответ

M_x = 28 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 13,33 kN, R₂ = 96,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −46,67, M_D = −83,33, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −120 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 43,16 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 300·16 = 4800 mm², y₁ = 8 mm

две полки: A₂ = 2·16·184 = 5888 mm², y₂ = 16 + 184/2 = 108 mm

Центр тяжести

ȳ = (4800·8 + 5888·108)/10688 = 63,09 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 300·16³/12 + 4800·(8 − 63,09)² = 1,467 × 10⁷ mm⁴

две полки: 2·16·184³/12 + 5888·(108 − 63,09)² = 2,849 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,467 × 10⁷ + 2,849 × 10⁷

I_x = 4,316 × 10⁷ mm⁴ = 43,16 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 43,16 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 3200·144)/(48000 − 3200) = 118,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·1,714² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

80·40³/12 + 3200·25,71² = 2,543 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics