Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите скалярную проекцию compb a вектора a = (1, −4, 0) на b = (5, 2, −2), то есть компоненту a в направлении b.
a = (1, −4, 0)b = (5, 2, −2)
compb a =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (4, 3, −2) и b = (3, −5, 5) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его x-компоненту n̂x.
a = (4, 3, −2)b = (3, −5, 5)n̂z > 0
n̂x =
3.Опорные реакции балокСредняя
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.
L = 10 mP1 = 60 kN в 2 mP2 = 30 kN в 9 m
RA = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 10 mP = 20 kN в 5 mw = 10 kN/m от 3 до 8 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
H: 15 kN ↓
1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN →
FAB = kN
7.Рамы и механизмыСредняя
A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 4 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,125 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.
P = 4 kNAB = 3 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,125 m
T = kN
8.Рамы и механизмыСложная
Однородная горизонтальная стрела AB весом 3 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 5 kN. Найдите натяжение T троса.
W = 5 kNWb = 3 kNAB = 2,5 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 4 mw = 5 kN/m от 0 до 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
50 kN @ 6 m12 kN/m, 0–5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Симметричный двутавр имеет полки шириной 110 mm и толщиной 24 mm, полную высоту 220 mm и стенку толщиной 10 mm. Найдите его момент инерции Ix относительно горизонтальной центральной оси x.
B = 110 mmH = 220 mmtf = 24 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 30 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент Mallow, который может воспринять балка (укажите его величину).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярное произведение
a·b = 1·5 + (−4)·2 + 0·(−2) = −3
Длина b
|b| = √(5² + 2² + (−2)²) = 5,745
Скалярная проекция
compb a = a·b/|b| = −3/5,745 = −0,5222
Ответ
compb a = −0,5222
Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.
2.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: n̂x = −0,1273
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторное произведение
(a × b)x = aybz − azby = 3·5 − (−2)·(−5) = 5
(a × b)y = azbx − axbz = (−2)·3 − 4·5 = −26
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−5) − 3·3 = −29
Нормирование
z-компонента a × b отрицательна, поэтому берите −(a × b).
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·10 = 60·2 + 30·9
RB = 390/10 = 39 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 39 = 51 kN
Ответ
RA = 51 kN
4.Опорные реакции балок
Ответ: RB = 37,5 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, приложена в x̄ = 5,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 10·5·5,5
RB = 375/10 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 37,5 = 32,5 kN
Ответ
RB = 37,5 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: элемент CG
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел C
BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·5 + 10·3 → Cy = 25,83 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 25,83 = −0,8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Узел A
Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−0,8333/0,5145 = 1,62 kN
Ответ
FAB = 1,62 kN (растяжение)
7.Рамы и механизмы
Ответ: T = 1,25 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Вся рама: моменты относительно A
By = 4·1,125/3 = 1,5 kN
Ножка BC: моменты относительно C
1,5·1,5 = T·1,8
T = 1,25 kN
Ответ
T = 1,25 kN
8.Рамы и механизмы
Ответ: T = 12,63 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Угол троса
BC = √(2,5² + 1,5²) = 2,915 m, sin β = 0,5145
Моменты относительно A
T·0,5145·2,5 = 5·2,5 + 3·1,25
T = 12,63 kN
Ответ
T = 12,63 kN
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Mx = 10 kN·m
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.
Опорные реакции
Равновесие всей балки.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 5·4·2
RB = 40/4 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть
Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.
M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 10·2 − 5·2·1 = 10 kN·m
Ответ
Mx = 10 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: F (x = 5 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 20 kN, R2 = 90 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = 14, MC = 16, MD = 6, ME = −16, MF = −50 kN·m, MG = 0
Ответ
Отметка F: MF = −50 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Ix = 55,2 × 10⁶ mm⁴
Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = Ic + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.
Наружный прямоугольник минус два боковых выреза
Оба выреза вместе имеют ширину (B − tw) и высоту hw = H − 2tf и отнесены к оси x.
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.