Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (−20, −10, 15) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−3, −5, 0) в точку B(5, 0, 4). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (−20, −10, 15) NA(−3, −5, 0) mB(5, 0, 4) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (20, 10, −20) N действует в точке A(−2, 2, 0). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно точка O(3, −1, 3).

F = (20, 10, −20) NA(−2, 2, 0) mO(3, −1, 3) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP₁ = 55 kN в 2 mP₂ = 60 kN в 3 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 25 kN в 2,5 mw = 12 kN/m от 2 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN →

F_BC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 6 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2,4 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 0,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 4 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 4 kNAB = 6 mвысота C = 2,4 mвысота DE = 0,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2,5 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 15 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 15 kNAB = 2 mвысота C = 2,5 mвысота DE = 0,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 10 kN/m от 0 до 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 8 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 20 kN в 8 mw = 10 kN/m от 0 до 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 160 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 150 mm. Толщина основания и полок 14 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 160 mmh = 150 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 70 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmвырез: 30 × 50 mmцентр отверстия: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −150 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (5, 0, 4) − (−3, −5, 0) = (8, 5, 4) m

Работа

W = F·d = (−20)·8 + (−10)·5 + 15·4 = −150 J

Ответ

W = −150 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = −110 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−2, 2, 0) − (3, −1, 3) = (−5, 3, −3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·(−20) − (−3)·10 = −30 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·20 − (−5)·(−20) = −160 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−5)·10 − 3·20 = −110 N·m

Искомая компонента

M_z = −110 N·m

Ответ

M_z = −110 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 72,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2 + 60·3

R_B = 290/4 = 72,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 72,5 = 42,5 kN

Ответ

R_B = 72,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23,3 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2,5 + 12·3·3,5

R_B = 188,5/5 = 37,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 37,7 = 23,3 kN

Ответ

R_A = 23,3 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 5,625 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,9701 = −23,19 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−23,19)·0,2425 = 5,625 kN

Ответ

F_AC = 5,625 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −13,42 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 + 10·2 → C_y = 6 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6 = 4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Узел C

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6/0,4472 = −13,42 kN

Ответ

F_BC = −13,42 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 4,25 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 2 kN

T = 2·3/1,6 = 3,75 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 3,75 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Модуль

C = √(3,75² + 2²) = 4,25 kN

Ответ

C = 4,25 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 11,03 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·2 = 15·2,5

B_y = 18,75 kN

Ножка BC: моменты относительно C

18,75·1 = T·1,7

T = 11,03 kN

Ответ

T = 11,03 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 105 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 50·3 − 10·3·1,5 = 105 kN·m

Ответ

M_x = 105 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 112 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·8 + 10·10·5

R_B = 660/10 = 66 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 66 = 54 kN

Рассеките в x = 8 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 54·8 − 10·8·4 = 112 kN·m

Ответ

M_x = 112 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 54,22 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 160·14 = 2240 mm², y₁ = 7 mm

две полки: A₂ = 2·14·136 = 3808 mm², y₂ = 14 + 136/2 = 82 mm

Центр тяжести

ȳ = (2240·7 + 3808·82)/6048 = 54,22 mm

Ответ

ȳ = 54,22 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 78,25 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 1500·70)/(24000 − 1500) = 102 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·−2² = 80,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·50³/12 + 1500·−32² = 1,849 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 78,25 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 78,25 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics