Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите скалярную проекцию compb a вектора a = (3, −4, 5) на b = (0, 2, 1), то есть компоненту a в направлении b.
a = (3, −4, 5)b = (0, 2, 1)
compb a =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (4, −4, −1) и b = (1, −2, −5).
a = (4, −4, −1)b = (1, −2, −5)
A =
3.Опорные реакции балокСредняя
Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию RB, считая положительным направление вверх.
AB = 3 mAC = 5 mP1 = 80 kN в 2 mP2 = 50 kN в 5 m
RB = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 10 mP = 60 kN в 9 mw = 6 kN/m от 6 до 9 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,5 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 8 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.
P = 8 kNAD = 1,6 mAB = 3,6 mAC = 0,5 m
A = kN
8.Рамы и механизмыСложная
A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4,8 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 10 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,44 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.
P = 10 kNAB = 4,8 mвысота C = 2,5 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,44 m
C = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент MA в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 2,5 mP = 45 kN в 1 mw = 2 kN/m от 0 до 2,5 m
MA = kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mmax между опорами.
L = 9,5 mw = 10 kN/m от 0 до 9,5 mопоры при x = 0 и x = 8 m
Mmax = kN·m
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Пластина 150 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 144 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.
b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Пластина 120 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.
b = 120 mmh = 300 mmвырез: 80 × 50 mmцентр отверстия: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Растворы
1.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: compb a = −1,342
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярное произведение
a·b = 3·0 + (−4)·2 + 5·1 = −3
Длина b
|b| = √(0² + 2² + 1²) = 2,236
Скалярная проекция
compb a = a·b/|b| = −3/2,236 = −1,342
Ответ
compb a = −1,342
Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.
2.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: A = 26,48
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Моменты относительно A
Против часовой стрелки — положительно.
ΣMA = 0: RB·3 = 80·2 + 50·5
RB = 410/3 = 136,7 kN
Равновесие по вертикали
RA = 80 + 50 − 136,7 = −6,667 kN
Ответ
RB = 136,7 kN
RA отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.
4.Опорные реакции балок
Ответ: RB = 67,5 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, приложена в x̄ = 7,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·9 + 6·3·7,5
RB = 675/10 = 67,5 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 67,5 = 10,5 kN
Ответ
RB = 67,5 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: элемент CG
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел C
BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел G
FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Сила в стойке
FCD = 8·3,6/(0,2983·1,6) = 60,35 kN
Составляющие в A
Ax = FCD·cos α = 57,6 kN (к стене)
Ay = 8 − FCD·sin α = −10 kN
Модуль
A = √(57,6² + −10²) = 58,46 kN
Ответ
A = 58,46 kN
Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.
8.Рамы и механизмы
Ответ: C = 5,19 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Опорная реакция в B
By = 10·1,44/4,8 = 3 kN
Сила в затяжке
T = 3·2,4/1,7 = 4,235 kN
Сила в шарнире на BC
Cx = 4,235 kN, Cy = −3 kN
C = √(4,235² + 3²) = 5,19 kN
Ответ
C = 5,19 kN
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: MA = −51,25 kN·m
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.
Оставляем часть со свободным концом
P: −45·1 = −45 kN·m
w: −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m
MA = −45 − 6,25 = −51,25 kN·m
Ответ
MA = −51,25 kN·m
Знак минус означает, что растянута верхняя грань.
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Mmax = 74,47 kN·m
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.
Опорные реакции
Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·9,5 = 95 kN, приложена в x̄ = 4,75 m
Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.
Центр тяжести
ȳ = (36000·120 − 1963·144)/(36000 − 1963) = 118,6 mm
Целая пластина относительно ȳ
150·240³/12 + 36000·1,385² = 172,9 × 10⁶ mm⁴
Отверстие относительно ȳ
π·50⁴/64 + 1963·25,38² = 1,572 × 10⁶ mm⁴
Вычтите
Ix = 171,3 × 10⁶ mm⁴
Ответ
Ix = 171,3 × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Ix = 253 × 10⁶ mm⁴
Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.
Центр тяжести
ȳ = (36000·150 − 4000·90)/(36000 − 4000) = 157,5 mm