Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (2, −7, 4) и b = (−4, 7, −3).

a = (2, −7, 4)b = (−4, 7, −3)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(0, −1, 3), B(2, 4, −2) и C(3, −3, 3). Координаты даны в метрах.

A(0, −1, 3)B(2, 4, −2)C(3, −3, 3)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 65 kN в 2 mP₂ = 35 kN в 5 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 6 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1 m от A. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

AC = 4 mAD = 8 mP = 60 kN в 6 mw = 2 kN/m от 4 до 8 mQ = 20 kN в 1 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓D: 35 kN ↓F: 40 kN →H: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 6 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1 m над землёй. В точке C действует нагрузка 2 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 2 kNAB = 6 mвысота C = 2 mвысота DE = 1 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 6 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m и на 3,6 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 5 kN в точке K на расстоянии 0,9 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 3 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 5 kNQ = 3 kNL = 6 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 3,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,9 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 4 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 45 kN в 1,5 mw = 12 kN/m от 0 до 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 140 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 170 mm. Толщина основания и полок 14 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 140 mmh = 170 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −69

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = 2·(−4) + (−7)·7 + 4·(−3) = (−8) + (−49) + (−12) = −69

Ответ

a·b = −69

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 13,1 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (2, 5, −5)

AC = C − A = (3, −2, 0)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 5·0 − (−5)·(−2) = −10

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−5)·3 − 2·0 = −15

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·(−2) − 5·3 = −19

|AB × AC| = √((−10)² + (−15)² + (−19)²) = 26,19

Площадь треугольника

A = ½·26,19 = 13,1 m²

Ответ

A = 13,1 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23,75 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·2 + 35·5

R_B = 305/4 = 76,25 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 + 35 − 76,25 = 23,75 kN

Ответ

R_A = 23,75 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 156 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 2·4 = 8 kN в 2 m от C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 60·2 + 8·2

R_D = 34 kN

V_C = 68 − 34 = 34 kN

Часть AC

Сила в шарнире V_C действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

R_A = 20 + 34 = 54 kN

M_A = 20·1 + 34·4 = 156 kN·m

Ответ

M_A = 156 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 15 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,3162 = −15,81 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,81)·0,9487 = 15 kN

Ответ

F_AC = 15 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 60 kN (T), FG: 65 kN (C), GH: 65 kN (C), AF: 42,43 kN (C), HE: 84,85 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 7,071 kN (C), HC: 7,071 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 3,162 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 1 kN

T = 1·3/1 = 3 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 3 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Модуль

C = √(3² + 1²) = 3,162 kN

Ответ

C = 3,162 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 1,08 kN

Направление BC

BC = 3,466 m, cos = 0,6925, sin = 0,7214

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,7214·6 = 5·0,9 + 3·2,5

F_BC = 2,772 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 3 − 2,772·0,6925 = 0

A_x = −1,08 kN → |A_x| = 1,08 kN

Ответ

A_x = 1,08 kN

Знак минус означает, что A_x направлена влево.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 28,33, M_C = 46,67, M_D = 65, M_E = 83,33 kN·m, M_F = 41,67, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 83,33 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 37,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 12·5·2,5

R_B = 217,5/5 = 43,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 43,5 = 61,5 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 61,5·4 − 45·(4 − 1,5) − 12·4·2 = 37,5 kN·m

Ответ

M_x = 37,5 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 18,67 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 140·14 = 1960 mm², y₁ = 7 mm

две полки: A₂ = 2·14·156 = 4368 mm², y₂ = 14 + 156/2 = 92 mm

Центр тяжести

ȳ = (1960·7 + 4368·92)/6328 = 65,67 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 140·14³/12 + 1960·(7 − 65,67)² = 6,779 × 10⁶ mm⁴

две полки: 2·14·156³/12 + 4368·(92 − 65,67)² = 1,189 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,779 × 10⁶ + 1,189 × 10⁷

I_x = 1,867 × 10⁷ mm⁴ = 18,67 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 18,67 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 148,6 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

стенка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·235 + 2640·110)/8640 = 196,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·30³/12 + 6000·(235 − 196,8)² = 9,203 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 196,8)² = 3,054 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,203 × 10⁶ + 3,054 × 10⁷ = 3,974 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 196,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·196,8/3,974 × 10⁷ = 148,6 MPa

Ответ

σ_низ = 148,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics