Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (7, −6, 7) на b = (−6, 6, −4), то есть компоненту a в направлении b.

a = (7, −6, 7)b = (−6, 6, −4)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (0, 4, −4) и b = (5, −2, 3) найдите x-компоненту (a × b)_x векторного произведения a × b.

a = (0, 4, −4)b = (5, −2, 3)

(a × b)_x =

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 65 kN в 1 mP₂ = 75 kN в 8 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP = 45 kN в 2 mw = 6 kN/m от 3 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 2 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,8 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 2 kNAB = 4 mвысота C = 3 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,8 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 3 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 2 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 12 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 2 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 50 kN в 1,5 mw = 4 kN/m от 0 до 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 60 kN в 1 mw = 12 kN/m от 0 до 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 160 mm, наружную высоту H = 325 mm и одинаковую толщину стенок t = 20 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 160 mmH = 325 mmt = 20 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −11,3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 7·(−6) + (−6)·6 + 7·(−4) = −106

Длина b

|b| = √((−6)² + 6² + (−4)²) = 9,381

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −106/9,381 = −11,3

Ответ

comp_b a = −11,3

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_x = 4

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·3 − (−4)·(−2) = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·5 − 0·3 = −20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·(−2) − 4·5 = −20

Искомая компонента

(a × b)_x = 4

Ответ

(a × b)_x = 4

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 29,17 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·1 + 75·8

R_B = 665/6 = 110,8 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 + 75 − 110,8 = 29,17 kN

Ответ

R_A = 29,17 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 28,8 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2 + 6·1·3,5

R_B = 111/5 = 22,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 22,2 = 28,8 kN

Ответ

R_A = 28,8 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 65 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 61,67 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 83,33 kN (C), GH: 83,33 kN (C), AF: 81,25 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 22,92 kN (T), HC: 27,08 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 16,77 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·2 + 30·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 30 = −15 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−15/0,8944 = 16,77 kN

Ответ

F_AB = 16,77 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 0,3636 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 2·0,8/4 = 0,4 kN

Ножка BC: моменты относительно C

0,4·2 = T·2,2

T = 0,3636 kN

Ответ

T = 0,3636 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 36,35 kN

Угол троса

BC = √(5² + 2²) = 5,385 m, sin β = 0,3714

Моменты относительно A

T·0,3714·5 = 12·5 + 3·2,5

T = 36,35 kN

Ответ

T = 36,35 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −27 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −50·0,5 = −25 kN·m

w: −4·1²/2 = −2 kN·m

M_x = −25 − 2 = −27 kN·m

Ответ

M_x = −27 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 120,8 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·1 + 12·8·4

R_B = 444/8 = 55,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 156 − 55,5 = 100,5 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 100,5·4,5 − 60·(4,5 − 1) − 12·4,5·2,25 = 120,8 kN·m

Ответ

M_x = 120,8 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 112,7 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 120 mm, h = 285 mm

A = BH − bh = 160·325 − 120·285 = 17800 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,262 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(2,262 × 10⁸/17800) = 112,7 mm

Ответ

r = 112,7 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 131,1 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

стенка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·250 + 3360·120)/5760 = 174,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·20³/12 + 2400·(250 − 174,2)² = 1,388 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 174,2)² = 2,599 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,388 × 10⁷ + 2,599 × 10⁷ = 3,987 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 174,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·174,2/3,987 × 10⁷ = 131,1 MPa

Ответ

σ_низ = 131,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics