Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (0, 1, −5) на b = (−3, −1, 5), то есть компоненту a в направлении b.

a = (0, 1, −5)b = (−3, −1, 5)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (−4, 2, −6) и b = (−5, −6, −5) найдите x-компоненту (a × b)_x векторного произведения a × b.

a = (−4, 2, −6)b = (−5, −6, −5)

(a × b)_x =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mP₁ = 50 kN в 2 mP₂ = 15 kN в 3 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 35 kN в 5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 25 kN ↓F: 10 kN →H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 120 N в точке A (300 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (150 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 120 NOA = 300 mmOB = 150 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 3 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 15 kNW_b = 1,5 kNAB = 5 mAC = 3 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 8 m4 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 80 kN в 4 mw = 4 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −4,395

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 0·(−3) + 1·(−1) + (−5)·5 = −26

Длина b

|b| = √((−3)² + (−1)² + 5²) = 5,916

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −26/5,916 = −4,395

Ответ

comp_b a = −4,395

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_x = −46

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−5) − (−6)·(−6) = −46

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−5) − (−4)·(−5) = 10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·(−6) − 2·(−5) = 34

Искомая компонента

(a × b)_x = −46

Ответ

(a × b)_x = −46

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 36,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 15·3

R_B = 145/4 = 36,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 36,25 = 28,75 kN

Ответ

R_B = 36,25 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 14,58 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·5 + 3·5·2,5

R_B = 212,5/6 = 35,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 35,42 = 14,58 kN

Ответ

R_A = 14,58 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 50 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 70,71 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 14,14 kN (C), HC: 14,14 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 42,19 kN (T), BC: 42,19 kN (T), CD: 39,06 kN (T), DE: 39,06 kN (T), FG: 40,63 kN (C), GH: 40,63 kN (C), AF: 53,65 kN (C), HE: 65,1 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 2,604 kN (C), HC: 2,604 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 268,3 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 120·300/150 = 240 N

Реакция в шарнире

O_x = 240 N, O_y = 120 N

F_O = √(240² + 120²) = 268,3 N

Ответ

F_O = 268,3 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 30,61 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Угол троса

BC = √(5² + 3²) = 5,831 m, sin β = 0,5145

Моменты относительно A

T·0,5145·5 = 15·5 + 1,5·2,5

T = 30,61 kN

Ответ

T = 30,61 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 19 kN, R₂ = 38 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 38, M_C = 76, M_D = 106, M_E = 120 kN·m, M_F = 68, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 120 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 122,7 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·4 + 4·6·3

R_B = 392/6 = 65,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 104 − 65,33 = 38,67 kN

Где V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 22,67 kN

V(4⁺) = 22,67 − 80 = −57,33 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 38,67·4 − 4·4²/2 = 122,7 kN·m

Ответ

M_max = 122,7 kN·m

Он достигается при x = 4 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 16,16 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стенка: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·210 + 1600·100)/3600 = 161,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(210 − 161,1)² = 4,847 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·200³/12 + 1600·(100 − 161,1)² = 1,131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,847 × 10⁶ + 1,131 × 10⁷ = 1,616 × 10⁷ mm⁴ = 16,16 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 16,16 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 19,39 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стенка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·272,5 + 3120·130)/7620 = 214,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·25³/12 + 4500·(272,5 − 214,2)² = 1,555 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 214,2)² = 3,967 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,555 × 10⁷ + 3,967 × 10⁷ = 5,523 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 214,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·214,2/5,523 × 10⁷ = 19,39 MPa

Ответ

σ_низ = 19,39 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics