Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (4, 2, −7) на b = (−2, 5, −4), то есть компоненту a в направлении b.

a = (4, 2, −7)b = (−2, 5, −4)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, −60, 20) N действует в точке A(3, −4, −3). Координаты даны в метрах. Найдите y-компоненту M_y момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (−40, −60, 20) NA(3, −4, −3) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 7 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 7 mAC = 10 mP₁ = 35 kN в 3 mP₂ = 80 kN в 10 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2,5 m до свободного конца в точке 6 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 4,5 mAC = 6 mP = 80 kN в 3,5 mw = 2 kN/m от 2,5 до 6 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1 m над землёй. Вертикальная нагрузка 6 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,25 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 6 kNAB = 5 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,25 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,5 m. В точке C действует горизонтальная сила 10 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 10 kNAB = 3,2 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 40 kN в 1,5 mw = 5 kN/m от 0 до 2 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 0 m55 kN @ 6 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 100 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 160 mm. Толщина основания и полок 10 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 160 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 4,472

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 4·(−2) + 2·5 + (−7)·(−4) = 30

Длина b

|b| = √((−2)² + 5² + (−4)²) = 6,708

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 30/6,708 = 4,472

Ответ

comp_b a = 4,472

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_y = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (3, −4, −3) − (0, 0, 0) = (3, −4, −3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·20 − (−3)·(−60) = −260 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·(−40) − 3·20 = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−60) − (−4)·(−40) = −340 N·m

Искомая компонента

M_y = 60 N·m

Ответ

M_y = 60 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 129,3 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·7 = 35·3 + 80·10

R_B = 905/7 = 129,3 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 35 + 80 − 129,3 = −14,29 kN

Ответ

R_B = 129,3 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 18,17 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 2·3,5 = 7 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 80·3,5 + 7·4,25

R_B = 309,8/4,5 = 68,83 kN

R_A = 87 − 68,83 = 18,17 kN

Ответ

R_A = 18,17 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −32,98 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 → C_y = 32 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 32 = 8 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −32/0,9701 = −32,98 kN

Ответ

F_BC = −32,98 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −2,5 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 − 15·3 → C_y = −2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − −2,5 = 37,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел C

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−2,5/0,7071 = 3,536 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(3,536)·0,7071 = −2,5 kN

Ответ

F_AC = −2,5 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,071 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 6·1,25/5 = 1,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

1,5·2,5 = T·3,5

T = 1,071 kN

Ответ

T = 1,071 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 8,571 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·3,2 = 10·3,6

B_y = 11,25 kN

Ножка BC: моменты относительно C

11,25·1,6 = T·2,1

T = 8,571 kN

Ответ

T = 8,571 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −45,63 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −40·1 = −40 kN·m

w: −5·1,5²/2 = −5,625 kN·m

M_x = −40 − 5,625 = −45,63 kN·m

Ответ

M_x = −45,63 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 121,7 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −36,67, M_D = −43,33, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −110 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 10,43 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 100·10 = 1000 mm², y₁ = 5 mm

две полки: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

Центр тяжести

ȳ = (1000·5 + 3000·85)/4000 = 65 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 100·10³/12 + 1000·(5 − 65)² = 3,608 × 10⁶ mm⁴

две полки: 2·10·150³/12 + 3000·(85 − 65)² = 6,825 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,608 × 10⁶ + 6,825 × 10⁶

I_x = 1,043 × 10⁷ mm⁴ = 10,43 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 10,43 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 167 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

стенка: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·245 + 1920·120)/2920 = 162,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·10³/12 + 1000·(245 − 162,8)² = 6,764 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·240³/12 + 1920·(120 − 162,8)² = 1,273 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,764 × 10⁶ + 1,273 × 10⁷ = 1,95 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 162,8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·162,8/1,95 × 10⁷ = 167 MPa

Ответ

σ_низ = 167 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics