Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (5, −1, 1) на b = (−5, −2, −4), то есть компоненту a в направлении b.

a = (5, −1, 1)b = (−5, −2, −4)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (40, −50, 40) N действует в точке A(−3, 3, 1). Координаты даны в метрах. Найдите x-компоненту M_x момента силы относительно точка O(0, 2, −1).

F = (40, −50, 40) NA(−3, 3, 1) mO(0, 2, −1) m

M_x = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mP₁ = 50 kN в 5 mP₂ = 30 kN в 6 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 25 kN в 3 mw = 2 kN/m от 0 до 2 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN →

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2,4 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 0,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 6 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 6 kNAB = 4 mвысота C = 2,4 mвысота DE = 0,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 3 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от B до точки C на стене на 4 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 4 kN. Найдите модуль реакции A в шарнире.

W = 4 kNW_b = 3 kNAB = 4 mAC = 4 m

A = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 2 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 55 kN в 3 mw = 2 kN/m от 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 25 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −4,025

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 5·(−5) + (−1)·(−2) + 1·(−4) = −27

Длина b

|b| = √((−5)² + (−2)² + (−4)²) = 6,708

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −27/6,708 = −4,025

Ответ

comp_b a = −4,025

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_x = 140 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−3, 3, 1) − (0, 2, −1) = (−3, 1, 2) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·40 − 2·(−50) = 140 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·40 − (−3)·40 = 200 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·(−50) − 1·40 = 110 N·m

Искомая компонента

M_x = 140 N·m

Ответ

M_x = 140 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 43 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·5 + 30·6

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 43 = 37 kN

Ответ

R_B = 43 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 15,83 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN, приложена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 25·3 + 2·2·1

R_B = 79/6 = 13,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 29 − 13,17 = 15,83 kN

Ответ

R_A = 15,83 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 5,625 kN (T), BC: 11,25 kN (T), CD: 11,25 kN (T), DE: 16,87 kN (T), FG: 5,625 kN (C), GH: 16,87 kN (C), AF: 9,375 kN (C), HE: 28,12 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 9,375 kN (C), DG: 9,375 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 41,25 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·2 + 20·2 → C_y = 13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 13,75 = 21,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13,75/0,3162 = −43,48 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−43,48)·0,9487 = 41,25 kN

Ответ

F_AC = 41,25 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 4,802 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 3 kN

T = 3·2/1,6 = 3,75 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 3,75 kN, C_y = −B_y = −3 kN

Модуль

C = √(3,75² + 3²) = 4,802 kN

Ответ

C = 4,802 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A = 5,701 kN

Натяжение троса

T = (4 + 3/2)/0,7071 = 7,778 kN

Составляющие в A

A_x = T·cos β = 5,5 kN

A_y = 4 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Модуль

A = √(5,5² + 1,5²) = 5,701 kN

Ответ

A = 5,701 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 65 kN, R₂ = 25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 130, M_C = 200 kN·m, M_D = 150, M_E = 100, M_F = 50, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 200 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 44,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3 + 2·4·2

R_B = 181/4 = 45,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 45,25 = 17,75 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 17,75·3 − 2·3·1,5 = 44,25 kN·m

Ответ

M_x = 44,25 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 15,18 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

стенка: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 1800·90)/4500 = 148,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 148,5)² = 4,157 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·180³/12 + 1800·(90 − 148,5)² = 1,102 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,157 × 10⁶ + 1,102 × 10⁷ = 1,518 × 10⁷ mm⁴ = 15,18 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 15,18 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 111,6 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стенка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·272,5 + 2600·130)/8100 = 226,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·25³/12 + 5500·(272,5 − 226,8)² = 1,179 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 226,8)² = 3,899 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,179 × 10⁷ + 3,899 × 10⁷ = 5,078 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 226,8 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·226,8/5,078 × 10⁷ = 111,6 MPa

Ответ

σ_низ = 111,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics