Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (−10, −30, −25) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−5, −2, −3) в точку B(0, 2, 0). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (−10, −30, −25) NA(−5, −2, −3) mB(0, 2, 0) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−60, 50, 0) N действует в точке A(1, 0, 3). Координаты даны в метрах. Найдите y-компоненту M_y момента силы относительно точка O(0, −2, 1).

F = (−60, 50, 0) NA(1, 0, 3) mO(0, −2, 1) m

M_y = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP₁ = 55 kN в 6 mP₂ = 30 kN в 7 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2,5 m до свободного конца в точке 4 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 4 mP = 10 kN в 1 mw = 4 kN/m от 2,5 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 25 kN ↓H: 30 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,2 m над землёй. В точке C действует нагрузка 10 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 10 kNAB = 3,2 mвысота C = 3 mвысота DE = 1,2 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от B до точки C на стене на 3 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите модуль реакции A в шарнире.

W = 15 kNW_b = 1,5 kNAB = 3 mAC = 3 m

A = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP₁ = 10 kN в 2 mP₂ = 20 kN в 7 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 15 kN в 7 mw = 12 kN/m от 0 до 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −245 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (0, 2, 0) − (−5, −2, −3) = (5, 4, 3) m

Работа

W = F·d = (−10)·5 + (−30)·4 + (−25)·3 = −245 J

Ответ

W = −245 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_y = −120 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (1, 0, 3) − (0, −2, 1) = (1, 2, 2) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·0 − 2·50 = −100 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·(−60) − 1·0 = −120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·50 − 2·(−60) = 170 N·m

Искомая компонента

M_y = −120 N·m

Ответ

M_y = −120 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 17,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·6 + 30·7

R_B = 540/8 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 67,5 = 17,5 kN

Ответ

R_A = 17,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 9,833 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 4·1,5 = 6 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 10·1 + 6·3,25

R_B = 29,5/3 = 9,833 kN

R_A = 16 − 9,833 = 6,167 kN

Ответ

R_B = 9,833 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 7,5 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 30 = 10 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,9701 = −30,92 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−30,92)·0,2425 = 7,5 kN

Ответ

F_AC = 7,5 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 12,19 kN (C), BC: 5,625 kN (T), CD: 5,625 kN (T), DE: 23,44 kN (T), FG: 17,81 kN (C), GH: 53,44 kN (C), AF: 29,69 kN (C), HE: 39,06 kN (C), BF: 23,75 kN (T), CG: 0, DH: 1,25 kN (T), BG: 29,69 kN (C), DG: 29,69 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 6,69 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 5 kN

T = 5·1,6/1,8 = 4,444 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 4,444 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Модуль

C = √(4,444² + 5²) = 6,69 kN

Ответ

C = 6,69 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A = 15,77 kN

Натяжение троса

T = (15 + 1,5/2)/0,7071 = 22,27 kN

Составляющие в A

A_x = T·cos β = 15,75 kN

A_y = 15 + 1,5 − T·sin β = 0,75 kN

Модуль

A = √(15,75² + 0,75²) = 15,77 kN

Ответ

A = 15,77 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 48 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·2 + 20·7

R_B = 160/10 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 16 = 14 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·2 = 14·2 = 28 kN·m

под P₂: M = R_B·3 = 16·3 = 48 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 48 kN·m (под P₂)

Ответ

M_max = 48 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 75,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·7 + 12·8·4

R_B = 489/8 = 61,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 111 − 61,13 = 49,88 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 49,88·2 − 12·2·1 = 75,75 kN·m

Ответ

M_x = 75,75 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 71,72 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

стенка: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·307,5 + 3600·150)/7200 = 228,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·15³/12 + 3600·(307,5 − 228,8)² = 2,239 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·300³/12 + 3600·(150 − 228,8)² = 4,933 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,239 × 10⁷ + 4,933 × 10⁷ = 7,172 × 10⁷ mm⁴ = 71,72 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 71,72 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 22,74 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стенка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·247,5 + 3360·120)/5460 = 169 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·15³/12 + 2100·(247,5 − 169)² = 1,297 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 169)² = 2,421 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,297 × 10⁷ + 2,421 × 10⁷ = 3,718 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 169 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·169/3,718 × 10⁷ = 22,74 MPa

Ответ

σ_низ = 22,74 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics