Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (2, −3, −6) на b = (4, −3, 1), то есть компоненту a в направлении b.

a = (2, −3, −6)b = (4, −3, 1)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (4, 1, 1), b = (−2, 4, 4) и c = (2, 0, 4).

a = (4, 1, 1)b = (−2, 4, 4)c = (2, 0, 4)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 6 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 30 kN в 6 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 5 mP = 20 kN в 3,5 mw = 6 kN/m от 2 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 20 kN ↓G: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 25 kN ↓C: 20 kN ↓F: 25 kN →G: 35 kN ↓H: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 15 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 15 kNAB = 5 mвысота C = 4 mвысота DE = 1,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4,8 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 20 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 20 kNAB = 4,8 mвысота C = 3 mвысота DE = 0,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP₁ = 40 kN в 5 mP₂ = 40 kN в 6 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите расстояние x₀ от A до сечения, в котором изгибающий момент наибольший.

L = 10 mw = 10 kN/m от 4 до 7 m

x₀ = m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmвырез: 30 × 30 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 2,157

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 2·4 + (−3)·(−3) + (−6)·1 = 11

Длина b

|b| = √(4² + (−3)² + 1²) = 5,099

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 11/5,099 = 2,157

Ответ

comp_b a = 2,157

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 72

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·4 − 4·0 = 16

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·2 − (−2)·4 = 16

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·0 − 4·2 = −8

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 4·16 + 1·16 + 1·(−8) = 72

V = |72| = 72

Ответ

V = 72

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = −7,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 30·6

R_B = 190/4 = 47,5 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 10 + 30 − 47,5 = −7,5 kN

Ответ

R_A = −7,5 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 4,75 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 6·3 = 18 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3,5 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·3,5 + 18·3,5

R_B = 133/4 = 33,25 kN

R_A = 38 − 33,25 = 4,75 kN

Ответ

R_A = 4,75 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 16,67 kN (T), BC: 16,67 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 33,33 kN (C), GH: 33,33 kN (C), AF: 20,83 kN (C), HE: 37,5 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 20,83 kN (T), HC: 4,167 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 71,25 kN (T), BC: 71,25 kN (T), CD: 58,75 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 92,5 kN (C), GH: 92,5 kN (C), AF: 65,41 kN (C), HE: 83,09 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 30,05 kN (T), HC: 47,73 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 11,35 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 7,5 kN

T = 7,5·2,5/2,2 = 8,523 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 8,523 kN, C_y = −B_y = −7,5 kN

Модуль

C = √(8,523² + 7,5²) = 11,35 kN

Ответ

C = 11,35 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 13,64 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·4,8 = 20·3

B_y = 12,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

12,5·2,4 = T·2,2

T = 13,64 kN

Ответ

T = 13,64 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 125 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·5 + 40·6

R_B = 440/8 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 55 = 25 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·5 = 25·5 = 125 kN·m

под P₂: M = R_B·2 = 55·2 = 110 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 125 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 125 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x₀ = 5,35 m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, приложена в x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3·5,5

R_B = 165/10 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 16,5 = 13,5 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 13,5/10 = 5,35 m

Ответ

x₀ = 5,35 m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 61,39 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

стенка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·255 + 3360·120)/12360 = 218,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·30³/12 + 9000·(255 − 218,3)² = 1,28 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 218,3)² = 4,86 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,28 × 10⁷ + 4,86 × 10⁷ = 6,139 × 10⁷ mm⁴ = 61,39 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 61,39 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 99,56 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 900·120)/(30000 − 900) = 99,38 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·0,6186² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·30³/12 + 900·20,62² = 0,4501 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 99,56 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 99,56 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics