Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (5, 20, 0) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(4, 4, 3) в точку B(3, 2, 4). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (5, 20, 0) NA(4, 4, 3) mB(3, 2, 4) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (30, 40, 0) N действует в точке A(−1, −1, −2). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (30, 40, 0) NA(−1, −1, −2) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 5 mP₁ = 50 kN в 2 mP₂ = 45 kN в 4 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 15 kN в 1,5 mw = 3 kN/m от 3 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 6 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 50 N в точке A (120 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (80 mm выше O). Найдите модуль реакции F_O в шарнире.

F = 50 NOA = 120 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 0,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 2 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 4 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 4 kNW_b = 0,5 kNAB = 5 mAC = 2 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 8 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mw = 20 kN/m от 4 до 7 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −45 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (3, 2, 4) − (4, 4, 3) = (−1, −2, 1) m

Работа

W = F·d = 5·(−1) + 20·(−2) + 0·1 = −45 J

Ответ

W = −45 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = −10 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−1, −1, −2) − (0, 0, 0) = (−1, −1, −2) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·0 − (−2)·40 = 80 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·30 − (−1)·0 = −60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·40 − (−1)·30 = −10 N·m

Искомая компонента

M_z = −10 N·m

Ответ

M_z = −10 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 56 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 45·4

R_B = 280/5 = 56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 56 = 39 kN

Ответ

R_B = 56 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 12,5 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1,5 + 3·1·3,5

R_B = 33/6 = 5,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 5,5 = 12,5 kN

Ответ

R_A = 12,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −34,24 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·1 → C_y = 4,375 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 4,375 = 30,63 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30,63/0,8944 = −34,24 kN

Ответ

F_AB = −34,24 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 28,75 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·6 + 25·2 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 28,75 = 1,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28,75/0,7071 = −40,66 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40,66)·0,7071 = 28,75 kN

Ответ

F_AC = 28,75 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_O = 90,14 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 50·120/80 = 75 N

Реакция в шарнире

O_x = 75 N, O_y = 50 N

F_O = √(75² + 50²) = 90,14 N

Ответ

F_O = 90,14 N

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 11,44 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Угол троса

BC = √(5² + 2²) = 5,385 m, sin β = 0,3714

Моменты относительно A

T·0,3714·5 = 4·5 + 0,5·2,5

T = 11,44 kN

Ответ

T = 11,44 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 56,67, M_C = 113,3, M_D = 140, M_E = 166,7 kN·m, M_F = 83,33, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 166,7 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 83,79 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, приложена в x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3·5,5

R_B = 330/8 = 41,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 41,25 = 18,75 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 18,75/20 = 4,938 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 18,75·4,938 − 20·0,9375²/2 = 83,79 kN·m

Ответ

M_max = 83,79 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 5,97 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

стенка: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·130 + 1200·60)/4800 = 112,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·20³/12 + 3600·(130 − 112,5)² = 1,222 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·120³/12 + 1200·(60 − 112,5)² = 4,747 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,222 × 10⁶ + 4,747 × 10⁶ = 5,97 × 10⁶ mm⁴ = 5,97 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 5,97 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 48,14 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

стенка: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·147,5 + 1960·70)/4060 = 110,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·15³/12 + 2100·(147,5 − 110,1)² = 2,979 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·140³/12 + 1960·(70 − 110,1)² = 6,351 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,979 × 10⁶ + 6,351 × 10⁶ = 9,33 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 155 − 110,1 = 44,91 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·44,91/9,33 × 10⁶ = 48,14 MPa

Ответ

σ_верх = 48,14 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics