Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (3, 2, −5) на b = (−3, −3, 6), то есть компоненту a в направлении b.

a = (3, 2, −5)b = (−3, −3, 6)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (6, −2, −5) и b = (−3, 0, 5) найдите x-компоненту (a × b)_x векторного произведения a × b.

a = (6, −2, −5)b = (−3, 0, 5)

(a × b)_x =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 20 kN в 1,5 mP₂ = 45 kN в 4 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 0,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 4 mP = 55 kN в 2 m, θ = 45°Q = 40 kN в 0,5 m

α = °

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 15 kNAD = 0,8 mAB = 2,4 mAC = 1 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 2 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 2,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 6 kNW_b = 2 kNAB = 3 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mw = 10 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 80 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmвырез: 40 × 30 mmцентр отверстия: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −6,124

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 3·(−3) + 2·(−3) + (−5)·6 = −45

Длина b

|b| = √((−3)² + (−3)² + 6²) = 7,348

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −45/7,348 = −6,124

Ответ

comp_b a = −6,124

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_x = −10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·5 − (−5)·0 = −10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−3) − 6·5 = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·0 − (−2)·(−3) = −6

Искомая компонента

(a × b)_x = −10

Ответ

(a × b)_x = −10

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 45·4

R_B = 210/5 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 42 = 23 kN

Ответ

R_A = 23 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: α = 54,46 °

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 55·sin 45° = 38,89 kN

P_h = 55·cos 45° = 38,89 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·4 = 38,89·2 + 40·0,5 → R_B = 24,45 kN

A_y = 38,89 + 40 − 24,45 = 54,45 kN

A_x = P_h = 38,89 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(54,45/38,89) = 54,46°

Ответ

α = 54,46°

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 9,333 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·1 → C_y = 7 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 7 = 28 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7/0,6 = −11,67 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,67)·0,8 = 9,333 kN

Ответ

F_AC = 9,333 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = 17,19 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 − 25·4 → C_y = −13,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − −13,75 = 58,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел C

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−13,75/0,8 = 17,19 kN

Ответ

F_BC = 17,19 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 46,86 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 15·2,4/(0,7809·0,8) = 57,63 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 36 kN (к стене)

A_y = 15 − F_CD·sin α = −30 kN

Модуль

A = √(36² + −30²) = 46,86 kN

Ответ

A = 46,86 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 10,93 kN

Угол троса

BC = √(3² + 2,5²) = 3,905 m, sin β = 0,6402

Моменты относительно A

T·0,6402·3 = 6·3 + 2·1,5

T = 10,93 kN

Ответ

T = 10,93 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 54,67 kN, R₂ = 36,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 51,67, M_C = 97,33 kN·m, M_D = 82, M_E = 60,67, M_F = 33,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 97,33 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 59,08 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·5·2,5

R_B = 125/8 = 15,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 15,63 = 34,38 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 34,38/10 = 3,438 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 34,38·3,438 − 10·3,438²/2 = 59,08 kN·m

Ответ

M_max = 59,08 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 85,2 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

стенка: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·307,5 + 5400·150)/8100 = 202,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·15³/12 + 2700·(307,5 − 202,5)² = 2,982 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·300³/12 + 5400·(150 − 202,5)² = 5,538 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,982 × 10⁷ + 5,538 × 10⁷ = 8,52 × 10⁷ mm⁴ = 85,2 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 85,2 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 99,41 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 1200·80)/(30000 − 1200) = 100,8 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,8333² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·30³/12 + 1200·−20,83² = 0,6108 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 99,41 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 99,41 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics