Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−4, 2, 3) на b = (0, 2, 3), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−4, 2, 3)b = (0, 2, 3)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (4, −5, 4), b = (3, 2, 1) и c = (−2, −5, 3).

a = (4, −5, 4)b = (3, 2, 1)c = (−2, −5, 3)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 1 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 6 mP = 55 kN в 4 mM = 10 kN·m (против часовой стрелки) в 1 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 6 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 3 mAD = 6 mP = 10 kN в 5 mQ = 75 kN в 1 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 35 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 12 kNAD = 1,2 mAB = 3,6 mAC = 1 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 12 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,8 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 12 kNAB = 4 mвысота C = 3 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,8 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 15 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 3 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу справа от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mM₀ = 15 kN·m по часовой стрелке, в точке 3 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 35 kN в 3 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 80 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmвырез: 80 × 30 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 3,606

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−4)·0 + 2·2 + 3·3 = 13

Длина b

|b| = √(0² + 2² + 3²) = 3,606

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 13/3,606 = 3,606

Ответ

comp_b a = 3,606

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 55

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·3 − 1·(−5) = 11

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−2) − 3·3 = −11

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·(−5) − 2·(−2) = −11

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 4·11 + (−5)·(−11) + 4·(−11) = 55

V = |55| = 55

Ответ

V = 55

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 20 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 55·4 + 10 = 0

R_B = 210/6 = 35 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 55 − 35 = 20 kN

Ответ

R_A = 20 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 6,667 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·3 = 10·2

R_D = 6,667 kN

V_C = 10 − 6,667 = 3,333 kN

Ответ

R_D = 6,667 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 70 kN (T), BC: 70 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 80 kN (T), FG: 105 kN (C), GH: 105 kN (C), AF: 98,99 kN (C), HE: 113,1 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 49,5 kN (T), HC: 35,36 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 8,75 kN (T), BC: 8,75 kN (T), CD: 21,25 kN (T), DE: 21,25 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 61,87 kN (C), HE: 30,05 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 26,52 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 49,42 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 12·3,6/(0,6402·1,2) = 56,23 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 43,2 kN (к стене)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −24 kN

Модуль

A = √(43,2² + −24²) = 49,42 kN

Ответ

A = 49,42 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 3,244 kN

Опорная реакция в B

B_y = 12·0,8/4 = 2,4 kN

Сила в затяжке

T = 2,4·2/2,2 = 2,182 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 2,182 kN, C_y = −2,4 kN

C = √(2,182² + 2,4²) = 3,244 kN

Ответ

C = 3,244 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/8 = 1,875 kN (вверх)

R_A = −R_B = −1,875 kN (вниз)

Сечение сразу справа от сосредоточенного момента

Теперь левая часть содержит R_A и сосредоточенный момент.

M_x = R_A·a + M₀ = −1,875·3 + 15 = 9,375 kN·m

Ответ

M_x = 9,375 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 74,06 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 6·8·4

R_B = 297/8 = 37,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 37,13 = 45,88 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 45,88·5,5 − 35·(5,5 − 3) − 6·5,5·2,75 = 74,06 kN·m

Ответ

M_x = 74,06 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 77,04 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

стенка: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·312,5 + 3000·150)/9500 = 261,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·25³/12 + 6500·(312,5 − 261,2)² = 1,746 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·300³/12 + 3000·(150 − 261,2)² = 5,959 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,746 × 10⁷ + 5,959 × 10⁷ = 7,704 × 10⁷ mm⁴ = 77,04 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 77,04 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 447,6 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 2400·120)/(60000 − 2400) = 151,3 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,25² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

80·30³/12 + 2400·−31,25² = 2,524 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 447,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 447,6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics