Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите значение k, при котором векторы a = (−3, 3, −2) и b = (−4, k, −6) перпендикулярны.

a = (−3, 3, −2)b = (−4, k, −6)

k =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(3, −3, 0), B(0, 4, 1) и C(2, −4, −4). Координаты даны в метрах.

A(3, −3, 0)B(0, 4, 1)C(2, −4, −4)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 10 kN/m в B. Кроме того, на расстоянии 0,5 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 15 kN в 0,5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 6 m от A действует сила P, наклонённая под углом 60° к горизонтали, а на расстоянии 1 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 8 mP = 65 kN в 6 m, θ = 60°Q = 35 kN в 1 m

α = °

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 8 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,6 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 8 kNAB = 2 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,6 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 15 kNW_b = 1 kNAB = 6 mAC = 1 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP₁ = 50 kN в 2 mP₂ = 15 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 0 m30 kN @ 6 m55 kN @ 3 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 260 mm, наружную высоту H = 325 mm и одинаковую толщину стенок t = 10 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 260 mmH = 325 mmt = 10 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 140 × 14 mm, стенку высотой 340 mm и толщиной 12 mm и нижнюю полку 260 × 14 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 140 × 14 mmстенка: 12 × 340 mmнижняя полка: 260 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: k = −8

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = (−3)·(−4) + 3·k + (−2)·(−6) = 0

24 + 3·k = 0

Найдите k

k = −24/3 = −8

Ответ

k = −8

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 15,8 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (−3, 7, 1)

AC = C − A = (−1, −1, −4)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 7·(−4) − 1·(−1) = −27

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 1·(−1) − (−3)·(−4) = −13

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−1) − 7·(−1) = 10

|AB × AC| = √((−27)² + (−13)² + 10²) = 31,59

Площадь треугольника

A = ½·31,59 = 15,8 m²

Ответ

A = 15,8 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 15,21 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = 2L/3 = 2,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,667 + 15·0,5

R_B = 15,21 kN

R_A = 35 − 15,21 = 19,79 kN

Ответ

R_B = 15,21 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: α = 53,98 °

Составляющие P

P_v = 65·sin 60° = 56,29 kN

P_h = 65·cos 60° = 32,5 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·8 = 56,29·6 + 35·1 → R_B = 46,59 kN

A_y = 56,29 + 35 − 46,59 = 44,7 kN

A_x = P_h = 32,5 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(44,7/32,5) = 53,98°

Ответ

α = 53,98°

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −3,536 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 10·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 7,5 = 2,5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,7071 = −3,536 kN

Ответ

F_AB = −3,536 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 67,5 kN (T), BC: 67,5 kN (T), CD: 82,5 kN (T), DE: 82,5 kN (T), FG: 111,7 kN (C), GH: 111,7 kN (C), AF: 71,88 kN (C), HE: 103,1 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 55,21 kN (T), HC: 36,46 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 0,8889 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 8·0,6/2 = 2,4 kN

Ножка BC: моменты относительно C

2,4·1 = T·2,7

T = 0,8889 kN

Ответ

T = 0,8889 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 94,28 kN

Угол троса

BC = √(6² + 1²) = 6,083 m, sin β = 0,1644

Моменты относительно A

T·0,1644·6 = 15·6 + 1·3

T = 94,28 kN

Ответ

T = 94,28 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 67,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 15·10

R_B = 250/8 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 31,25 = 33,75 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·2 = 33,75·2 = 67,5 kN·m

Ответ

M_x = 67,5 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 67,33 kN, R₂ = 80,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −25,67, M_D = −12,33, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −60 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 124,9 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 240 mm, h = 305 mm

A = BH − bh = 260·325 − 240·305 = 11300 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,763 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(1,763 × 10⁸/11300) = 124,9 mm

Ответ

r = 124,9 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 205,7 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1960 mm², y = 361 mm

стенка: A = 4080 mm², y = 184 mm

нижняя полка: A = 3640 mm², y = 7 mm

Центр тяжести

ȳ = (1960·361 + 4080·184 + 3640·7)/9680 = 153,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 140·14³/12 + 1960·207,7² = 8,46 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·340³/12 + 4080·30,72² = 4,315 × 10⁷ mm⁴

нижняя полка: 260·14³/12 + 3640·146,3² = 7,795 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,46 × 10⁷ + 4,315 × 10⁷ + 7,795 × 10⁷

I_x = 2,057 × 10⁸ mm⁴ = 205,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 205,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Статика: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Метод

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Рамы и механизмы

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Центр тяжести и момент инерции

2Тренировочные задачи

3Растворы

Скалярное произведение равно нулю

Найдите k

Ответ

Векторы сторон

Векторное произведение

Площадь треугольника

Ответ

Равнодействующая треугольной нагрузки

Равновесие

Ответ

Составляющие P

Реакции

Направление реакции в A

Ответ

Опорные реакции

Узел A

Ответ

Узел D

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Вся рама: моменты относительно A

Ножка BC: моменты относительно C

Ответ

Угол троса

Моменты относительно A

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Изгибающий момент в каждой отметке

Ответ

Площадь и момент инерции нетто

Радиус инерции

Ответ

Разбиваем на три прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть