Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (2, −3, −5) на b = (1, −6, 5), то есть компоненту a в направлении b.

a = (2, −3, −5)b = (1, −6, 5)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−30, −60, −50) N действует в точке A(3, −3, 3). Координаты даны в метрах. Найдите y-компоненту M_y момента силы относительно точка O(2, −1, 2).

F = (−30, −60, −50) NA(3, −3, 3) mO(2, −1, 2) m

M_y = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP₁ = 45 kN в 5 mP₂ = 25 kN в 6 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 6 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 9 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 1 m от A. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

AC = 6 mAD = 10 mP = 25 kN в 9 mw = 10 kN/m от 6 до 10 mQ = 40 kN в 1 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 6 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1,5 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 6 kNAD = 1,5 mAB = 4 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 1,5 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 3 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 15 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 3 kN/mP = 15 kNAD = 1,2 mAB = 3 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 6 m6 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

35 kN @ 0 m25 kN @ 12 m55 kN @ 6 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −0,635

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 2·1 + (−3)·(−6) + (−5)·5 = −5

Длина b

|b| = √(1² + (−6)² + 5²) = 7,874

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −5/7,874 = −0,635

Ответ

comp_b a = −0,635

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_y = 20 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (3, −3, 3) − (2, −1, 2) = (1, −2, 1) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·(−50) − 1·(−60) = 160 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−30) − 1·(−50) = 20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·(−60) − (−2)·(−30) = −120 N·m

Искомая компонента

M_y = 20 N·m

Ответ

M_y = 20 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 32,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·5 + 25·6

R_B = 375/10 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37,5 = 32,5 kN

Ответ

R_A = 32,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 197,5 kN·m

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 10·4 = 40 kN в 2 m от C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 25·3 + 40·2

R_D = 38,75 kN

V_C = 65 − 38,75 = 26,25 kN

Часть AC

Сила в шарнире V_C действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).

R_A = 40 + 26,25 = 66,25 kN

M_A = 40·1 + 26,25·6 = 197,5 kN·m

Ответ

M_A = 197,5 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 9,375 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·6 → C_y = 18,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 18,75 = 6,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,75/0,8944 = −20,96 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−20,96)·0,4472 = 9,375 kN

Ответ

F_AC = 9,375 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 36,25 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 23,75 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 43,75 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 33,59 kN (C), BF: 26,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 19,45 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 18,87 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 6·4/(0,7071·1,5) = 22,63 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 16 kN (к стене)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −10 kN

Модуль

A = √(16² + −10²) = 18,87 kN

Ответ

A = 18,87 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 62,43 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 3·3 = 9 kN в 1,5 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,7809·1,2 = 9·1,5 + 15·3 = 58,5 kN·m

F_CD = 62,43 kN

Ответ

F_CD = 62,43 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 38,5 kN, R₂ = 54,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 77, M_C = 154, M_D = 219 kN·m, M_E = 170, M_F = 97, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 219 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 72,33 kN, R₂ = 90,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −11,33, M_D = 15,33, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −100 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 14,33 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

стенка: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·167,5 + 2560·80)/4660 = 119,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·15³/12 + 2100·(167,5 − 119,4)² = 4,892 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·160³/12 + 2560·(80 − 119,4)² = 9,442 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,892 × 10⁶ + 9,442 × 10⁶ = 1,433 × 10⁷ mm⁴ = 14,33 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 14,33 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 29 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стенка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·195 + 3600·90)/10200 = 157,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·30³/12 + 6600·(195 − 157,9)² = 9,559 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 157,9)² = 2,634 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,559 × 10⁶ + 2,634 × 10⁷ = 3,59 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 210 − 157,9 = 52,06 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·52,06/3,59 × 10⁷ = 29 MPa

Ответ

σ_верх = 29 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics