Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (5, 0, 30) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(5, −5, 5) в точку B(3, −4, −4). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (5, 0, 30) NA(5, −5, 5) mB(3, −4, −4) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (6, 4, 1) и b = (−4, −6, 1) найдите y-компоненту (a × b)_y векторного произведения a × b.

a = (6, 4, 1)b = (−4, −6, 1)

(a × b)_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 6 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 70 kN в 3 mP₂ = 65 kN в 10 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 8 mP = 40 kN в 7 mw = 4 kN/m от 4 до 8 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 2 m над землёй. Вертикальная нагрузка 6 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,72 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 6 kNAB = 2,4 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 2 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,72 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 6 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2,4 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1 m над землёй. Вертикальная нагрузка 8 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 2,25 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 8 kNAB = 6 mвысота C = 2,4 mвысота DE = 1 mгоризонтальное расстояние от A до K = 2,25 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 15 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 2,5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mM₀ = 15 kN·m по часовой стрелке, в точке 2,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mw = 10 kN/m от 0 до 3 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 240 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 72 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −280 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (3, −4, −4) − (5, −5, 5) = (−2, 1, −9) m

Работа

W = F·d = 5·(−2) + 0·1 + 30·(−9) = −280 J

Ответ

W = −280 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_y = −10

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·1 − 1·(−6) = 10

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−4) − 6·1 = −10

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·(−6) − 4·(−4) = −20

Искомая компонента

(a × b)_y = −10

Ответ

(a × b)_y = −10

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = −8,333 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·3 + 65·10

R_B = 860/6 = 143,3 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 70 + 65 − 143,3 = −8,333 kN

Ответ

R_A = −8,333 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 38 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 4·4 = 16 kN в 2 m от C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 40·3 + 16·2

R_D = 38 kN

V_C = 56 − 38 = 18 kN

Ответ

R_D = 38 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 11,25 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22,5 = 7,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22,5/0,8944 = −25,16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25,16)·0,4472 = 11,25 kN

Ответ

F_AC = 11,25 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −0,625 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 − 25·4 → C_y = −2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − −2,5 = 32,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел C

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−2,5/0,9701 = 2,577 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(2,577)·0,2425 = −0,625 kN

Ответ

F_AC = −0,625 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 0,864 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 6·0,72/2,4 = 1,8 kN

Ножка BC: моменты относительно C

1,8·1,2 = T·2,5

T = 0,864 kN

Ответ

T = 0,864 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 7,094 kN

Опорная реакция в B

B_y = 8·2,25/6 = 3 kN

Сила в затяжке

T = 3·3/1,4 = 6,429 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 6,429 kN, C_y = −3 kN

C = √(6,429² + 3²) = 7,094 kN

Ответ

C = 7,094 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −9,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 15/4 = 3,75 kN (вверх)

R_A = −R_B = −3,75 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −3,75·2,5 = −9,375 kN·m

Ответ

M_x = −9,375 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 32,51 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, приложена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·3·1,5

R_B = 45/10 = 4,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 4,5 = 25,5 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 25,5/10 = 2,55 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 25,5·2,55 − 10·2,55²/2 = 32,51 kN·m

Ответ

M_max = 32,51 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (48000·120 − 706,9·72)/(48000 − 706,9) = 120,7 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,7174² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−48,72² = 1,717 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 57,09 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стенка: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·275 + 4160·130)/10160 = 215,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·30³/12 + 6000·(275 − 215,6)² = 2,16 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·260³/12 + 4160·(130 − 215,6)² = 5,394 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,16 × 10⁷ + 5,394 × 10⁷ = 7,554 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 215,6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·215,6/7,554 × 10⁷ = 57,09 MPa

Ответ

σ_низ = 57,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics