Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−7, 4, −7) на b = (2, −4, 6), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−7, 4, −7)b = (2, −4, 6)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (6, 1, −5) и b = (2, −6, 3) найдите z-компоненту (a × b)_z векторного произведения a × b.

a = (6, 1, −5)b = (2, −6, 3)

(a × b)_z =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP₁ = 30 kN в 1 mP₂ = 30 kN в 2 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

L = 10 mP = 60 kN в 3 mw = 10 kN/m от 0 до 9 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓C: 15 kN ↓D: 25 kN ↓F: 35 kN ↓H: 40 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1,5 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 6 kNAD = 1,6 mAB = 2,5 mAC = 1,5 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1 m. В точке C действует горизонтальная сила 2 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 2 kNAB = 2,4 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP₁ = 70 kN в 4 mP₂ = 40 kN в 5 m

M_max = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 50 kN в 2,5 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 120 mm и толщиной 18 mm, полную высоту 420 mm и стенку толщиной 10 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 120 mmH = 420 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −9,621

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−7)·2 + 4·(−4) + (−7)·6 = −72

Длина b

|b| = √(2² + (−4)² + 6²) = 7,483

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −72/7,483 = −9,621

Ответ

comp_b a = −9,621

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_z = −38

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·3 − (−5)·(−6) = −27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·2 − 6·3 = −28

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·(−6) − 1·2 = −38

Искомая компонента

(a × b)_z = −38

Ответ

(a × b)_z = −38

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 11,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·1 + 30·2

R_B = 90/8 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 11,25 = 48,75 kN

Ответ

R_B = 11,25 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 58,5 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·9 = 90 kN, приложена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 10·9·4,5

R_B = 585/10 = 58,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 58,5 = 91,5 kN

Ответ

R_B = 58,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 4,167 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 → C_y = 1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1,667 = 8,333 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,667/0,3714 = −4,488 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−4,488)·0,9285 = 4,167 kN

Ответ

F_AC = 4,167 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 14,06 kN (T), BC: 14,06 kN (T), CD: 20,94 kN (T), DE: 20,94 kN (T), FG: 63,13 kN (C), GH: 63,13 kN (C), AF: 90,1 kN (C), HE: 34,9 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 15,1 kN (T), HC: 3,646 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 10,55 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 6·2,5/(0,6839·1,6) = 13,71 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (к стене)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −3,375 kN

Модуль

A = √(10² + −3,375²) = 10,55 kN

Ответ

A = 10,55 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,385 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·2,4 = 2·3,6

B_y = 3 kN

Ножка BC: моменты относительно C

3·1,2 = T·2,6

T = 1,385 kN

Ответ

T = 1,385 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 120 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 70·4 + 40·5

R_B = 480/6 = 80 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 80 = 30 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·4 = 30·4 = 120 kN·m

под P₂: M = R_B·1 = 80·1 = 80 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 120 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 120 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 74,33 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2,5 + 4·6·3

R_B = 197/6 = 32,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 32,83 = 41,17 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 41,17·2 − 4·2·1 = 74,33 kN·m

Ответ

M_x = 74,33 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 221,8 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 420 − 2·18 = 384 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·420³ − 110·384³)/12

I_x = 2,218 × 10⁸ mm⁴ = 221,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 221,8 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 288,4 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стенка: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·210 + 2800·100)/6000 = 158,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·20³/12 + 3200·(210 − 158,7)² = 8,539 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·200³/12 + 2800·(100 − 158,7)² = 1,897 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,539 × 10⁶ + 1,897 × 10⁷ = 2,751 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 158,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·158,7/2,751 × 10⁷ = 288,4 MPa

Ответ

σ_низ = 288,4 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics