Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите значение k, при котором векторы a = (−1, 1, 6) и b = (3, 4, k) перпендикулярны.

a = (−1, 1, 6)b = (3, 4, k)

k =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (−2, 4, −5) и b = (−4, 2, 1) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его y-компоненту n̂_y.

a = (−2, 4, −5)b = (−4, 2, 1)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 60 kN в 1 mP₂ = 30 kN в 2 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP = 50 kN в 5 mw = 10 kN/m от 0 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓G: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓F: 30 kN →H: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,5 m над землёй. В точке C действует нагрузка 4 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 4 kNAB = 3,2 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,5 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1 m над землёй. Вертикальная нагрузка 20 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,6 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 20 kNAB = 2,4 mвысота C = 4 mвысота DE = 1 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,6 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 6 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 12 kN/m от 0 до 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

L = 8 mP = 20 kN в 4 mw = 6 kN/m от 0 до 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: k = −0,1667

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = (−1)·3 + 1·4 + 6·k = 0

1 + 6·k = 0

Найдите k

k = −1/6 = −0,1667

Ответ

k = −0,1667

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂_y = 0,7664

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·1 − (−5)·2 = 14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−4) − (−2)·1 = 22

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·2 − 4·(−4) = 12

Нормирование

z-компонента a × b уже положительна.

|a × b| = √(14² + 22² + 12²) = 28,71

n̂ = (14, 22, 12)/28,71 = (0,4877, 0,7664, 0,418)

n̂_y = 0,7664

Ответ

n̂_y = 0,7664

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 66 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·1 + 30·2

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 24 = 66 kN

Ответ

R_A = 66 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 41,25 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 10·4·2

R_B = 330/8 = 41,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 41,25 = 48,75 kN

Ответ

R_B = 41,25 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 14,06 kN (T), BC: 28,12 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 19,69 kN (T), FG: 14,06 kN (C), GH: 19,69 kN (C), AF: 23,44 kN (C), HE: 32,81 kN (C), BF: 18,75 kN (T), CG: 0, DH: 26,25 kN (T), BG: 23,44 kN (C), DG: 14,06 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 52,5 kN (T), BC: 61,67 kN (T), CD: 61,67 kN (T), DE: 70,83 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 70,83 kN (C), AF: 28,13 kN (C), HE: 88,54 kN (C), BF: 6,875 kN (T), CG: 0, DH: 28,13 kN (T), BG: 11,46 kN (C), DG: 11,46 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 2,514 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 2 kN

T = 2·1,6/2,1 = 1,524 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 1,524 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Модуль

C = √(1,524² + 2²) = 2,514 kN

Ответ

C = 2,514 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 5,385 kN

Опорная реакция в B

B_y = 20·0,6/2,4 = 5 kN

Сила в затяжке

T = 5·1,2/3 = 2 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 2 kN, C_y = −5 kN

C = √(2² + 5²) = 5,385 kN

Ответ

C = 5,385 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 144 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Рассеките в x = 6 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 60·6 − 12·6·3 = 144 kN·m

Ответ

M_x = 144 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 56 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·4 + 6·8·4

R_B = 272/8 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 34 = 34 kN

Рассеките в x = 6 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34·6 − 20·(6 − 4) − 6·6·3 = 56 kN·m

Ответ

M_x = 56 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,01 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стенка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·247,5 + 3360·120)/4860 = 159,4 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·15³/12 + 1500·(247,5 − 159,4)² = 1,168 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 159,4)² = 2,133 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,168 × 10⁷ + 2,133 × 10⁷ = 3,301 × 10⁷ mm⁴ = 33,01 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,01 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 55,73 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

стенка: A_w = 16·100 = 1600 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·112,5 + 1600·50)/8100 = 100,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·25³/12 + 6500·(112,5 − 100,2)² = 1,329 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·100³/12 + 1600·(50 − 100,2)² = 5,358 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,329 × 10⁶ + 5,358 × 10⁶ = 6,687 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 125 − 100,2 = 24,85 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·24,85/6,687 × 10⁶ = 55,73 MPa

Ответ

σ_верх = 55,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics