Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (2, −1, −6) на b = (−5, 2, −6), то есть компоненту a в направлении b.

a = (2, −1, −6)b = (−5, 2, −6)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, −10, 20) N действует в точке A(4, −4, 0). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно точка O(2, −3, −1).

F = (−40, −10, 20) NA(4, −4, 0) mO(2, −3, −1) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 5 mP₁ = 60 kN в 2,5 mP₂ = 35 kN в 3 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 2,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 2,5 m до свободного конца в точке 4 m. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 2,5 mAC = 4 mP = 30 kN в 1,5 mw = 2 kN/m от 2,5 до 4 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 40 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 20 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,9 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 20 kNAB = 3 mвысота C = 3 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,9 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2,4 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 5 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 1,5 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 5 kNAB = 5 mвысота C = 2,4 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,5 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 4 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 7 mw = 4 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 30 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 2,977

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 2·(−5) + (−1)·2 + (−6)·(−6) = 24

Длина b

|b| = √((−5)² + 2² + (−6)²) = 8,062

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 24/8,062 = 2,977

Ответ

comp_b a = 2,977

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = −60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (4, −4, 0) − (2, −3, −1) = (2, −1, 1) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·20 − 1·(−10) = −10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−40) − 2·20 = −80 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·(−10) − (−1)·(−40) = −60 N·m

Искомая компонента

M_z = −60 N·m

Ответ

M_z = −60 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 44 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·2,5 + 35·3

R_B = 255/5 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 51 = 44 kN

Ответ

R_A = 44 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 21,9 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 2·1,5 = 3 kN, x̄ = (2,5 + 4)/2 = 3,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·2,5 = 30·1,5 + 3·3,25

R_B = 54,75/2,5 = 21,9 kN

R_A = 33 − 21,9 = 11,1 kN

Ответ

R_B = 21,9 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 60 kN (T), BC: 66,67 kN (T), CD: 66,67 kN (T), DE: 33,33 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 33,33 kN (C), AF: 75 kN (C), HE: 41,67 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), BG: 8,333 kN (C), DG: 41,67 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 13,33 kN (T), BC: 33,33 kN (T), CD: 33,33 kN (T), DE: 26,67 kN (T), FG: 53,33 kN (C), GH: 66,67 kN (C), AF: 66,67 kN (C), HE: 33,33 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), BG: 25 kN (C), DG: 8,333 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 4,091 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 20·0,9/3 = 6 kN

Ножка BC: моменты относительно C

6·1,5 = T·2,2

T = 4,091 kN

Ответ

T = 4,091 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 2,783 kN

Опорная реакция в B

B_y = 5·1,5/5 = 1,5 kN

Сила в затяжке

T = 1,5·2,5/1,6 = 2,344 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 2,344 kN, C_y = −1,5 kN

C = √(2,344² + 1,5²) = 2,783 kN

Ответ

C = 2,783 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −8 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 24 − 8·4 = −8 kN

Ответ

V_x = −8 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 8,82 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·7·3,5

R_B = 98/5 = 19,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 19,6 = 8,4 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 8,4/4 = 2,1 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 8,4²/(2·4) = 8,82 kN·m

Ответ

M_max = 8,82 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 13,87 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

стенка: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·165 + 3200·80)/4600 = 105,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·10³/12 + 1400·(165 − 105,9)² = 4,907 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·160³/12 + 3200·(80 − 105,9)² = 8,968 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,907 × 10⁶ + 8,968 × 10⁶ = 1,387 × 10⁷ mm⁴ = 13,87 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 13,87 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 7,769 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (6500·172,5 + 1280·80)/7780 = 157,3 mm

верхняя кромка: c = 185 − 157,3 = 27,72 mm

Момент инерции сечения

I = 260·25³/12 + 6500·15,22² + 8·160³/12 + 1280·77,28² = 1,222 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 30·1,222 × 10⁷/27,72 = 13,23 kN·m

нижняя кромка: M = 100·1,222 × 10⁷/157,3 = 7,769 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 7,769 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 7,769 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics