Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (25, −20, −15) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−5, 0, 4) в точку B(3, 5, 3). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (25, −20, −15) NA(−5, 0, 4) mB(3, 5, 3) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (3, 5, −1) и b = (0, 3, 2) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его y-компоненту n̂_y.

a = (3, 5, −1)b = (0, 3, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 2 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 5 mP = 40 kN в 2,5 mM = 60 kN·m (по часовой стрелке) в 2 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP = 30 kN в 6 mw = 2 kN/m от 0 до 8 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓C: 35 kN ↓F: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ↓H: 20 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 8° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 300 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.

F = 300 Nθ = 8°

Q = N

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 200 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 15 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 1500 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 1500 NAB = BC = 200 mmh = 15 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 8 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 140 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 100 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 140 mmh = 100 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = 115 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (3, 5, 3) − (−5, 0, 4) = (8, 5, −1) m

Работа

W = F·d = 25·8 + (−20)·5 + (−15)·(−1) = 115 J

Ответ

W = 115 J

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂_y = −0,3548

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·2 − (−1)·3 = 13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·0 − 3·2 = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·3 − 5·0 = 9

Нормирование

z-компонента a × b уже положительна.

|a × b| = √(13² + (−6)² + 9²) = 16,91

n̂ = (13, −6, 9)/16,91 = (0,7687, −0,3548, 0,5322)

n̂_y = −0,3548

Ответ

n̂_y = −0,3548

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 32 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 40·2,5 − 60 = 0

R_B = 160/5 = 32 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 40 − 32 = 8 kN

Ответ

R_B = 32 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 30,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·6 + 2·8·4

R_B = 244/8 = 30,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 30,5 = 15,5 kN

Ответ

R_B = 30,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −39,66 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·2 → C_y = 22 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 22 = 33 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −33/0,8321 = −39,66 kN

Ответ

F_AB = −39,66 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 86,67 kN (T), BC: 86,67 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 80 kN (T), FG: 140 kN (C), GH: 140 kN (C), AF: 133,3 kN (C), HE: 100 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 41,67 kN (T), HC: 50 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: Q = 1067 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Равновесие шарнира B

2·F_link·sin 8° = 300

F_link = 1078 N

Зажимная сила

Q = F_link·cos 8° = 300/(2·tan 8°) = 1067 N

Ответ

Q = 1067 N

Отношение сил Q/F = 3,558 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 225,6 N

Угол звена

sin θ = 15/200 = 0,075, θ = 4,301°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 1504 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1500·tan θ = 225,6 N

Ответ

F = 225,6 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 55 kN, R₂ = 65 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 98, M_C = 172, M_D = 222, M_E = 248 kN·m, M_F = 130, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 248 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 35 kN, R₂ = 95 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −15, M_D = −5, M_E = 5, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −45 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 33,85 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 140·12 = 1680 mm², y₁ = 6 mm

две полки: A₂ = 2·12·88 = 2112 mm², y₂ = 12 + 88/2 = 56 mm

Центр тяжести

ȳ = (1680·6 + 2112·56)/3792 = 33,85 mm

Ответ

ȳ = 33,85 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 58,79 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

стенка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·295 + 5600·140)/14600 = 235,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·30³/12 + 9000·(295 − 235,5)² = 3,249 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 235,5)² = 8,771 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,249 × 10⁷ + 8,771 × 10⁷ = 1,202 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 235,5 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·235,5/1,202 × 10⁸ = 58,79 MPa

Ответ

σ_низ = 58,79 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics