Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−1, −1, 6) на b = (−1, 0, 6), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−1, −1, 6)b = (−1, 0, 6)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (1, −3, 5), b = (4, −1, −4) и c = (−2, −2, 1).

a = (1, −3, 5)b = (4, −1, −4)c = (−2, −2, 1)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP₁ = 25 kN в 1 mP₂ = 30 kN в 1,5 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 1,5 m до свободного конца в точке 5 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 5 mP = 75 kN в 2 mw = 12 kN/m от 1,5 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 2 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 2 kNAB = 2 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,8 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 1,2 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 4 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 4 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 4 kN/mP = 4 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 1,2 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 10 kN/m от 0 до 10 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 0 m40 kN @ 12 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 180 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 280 mm и стенку толщиной 12 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 180 mmH = 280 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 10 mm, стенку высотой 190 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 250 × 10 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 10 mmстенка: 14 × 190 mmнижняя полка: 250 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 6,083

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−1)·(−1) + (−1)·0 + 6·6 = 37

Длина b

|b| = √((−1)² + 0² + 6²) = 6,083

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 37/6,083 = 6,083

Ответ

comp_b a = 6,083

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 71

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·1 − (−4)·(−2) = −9

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·(−2) − 4·1 = 4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 4·(−2) − (−1)·(−2) = −10

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 1·(−9) + (−3)·4 + 5·(−10) = −71

V = |−71| = 71

Ответ

V = 71

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 37,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 30·1,5

R_B = 70/4 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 17,5 = 37,5 kN

Ответ

R_A = 37,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 21,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 12·3,5 = 42 kN, x̄ = (1,5 + 5)/2 = 3,25 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 75·2 + 42·3,25

R_B = 286,5/3 = 95,5 kN

R_A = 117 − 95,5 = 21,5 kN

Ответ

R_A = 21,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −13,89 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 25·2 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 8,333 = 16,67 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,6 = −13,89 kN

Ответ

F_BC = −13,89 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 13,33 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·4 + 30·3 → C_y = 58 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 58 = −8 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−8/0,6 = 13,33 kN

Ответ

F_AB = 13,33 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 1,144 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 1 kN

T = 1·1/1,8 = 0,5556 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 0,5556 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Модуль

C = √(0,5556² + 1²) = 1,144 kN

Ответ

C = 1,144 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 29,81 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 4·2 = 8 kN в 1 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,8944·0,6 = 8·1 + 4·2 = 16 kN·m

F_CD = 29,81 kN

Ответ

F_CD = 29,81 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 123,8 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 50·5,5 − 10·5,5·2,75 = 123,8 kN·m

Ответ

M_x = 123,8 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 61,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −113,3, M_D = −126,7, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −160 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 751,7 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 280 − 2·14 = 252 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·280³ − 168·252³)/12

I_x = 1,052 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 1,052 × 10⁸/140

S_x = 751699 mm³ = 751,7 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 751,7 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 51,53 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1900 mm², y = 205 mm

стенка: A = 2660 mm², y = 105 mm

нижняя полка: A = 2500 mm², y = 5 mm

Центр тяжести

ȳ = (1900·205 + 2660·105 + 2500·5)/7060 = 96,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·10³/12 + 1900·108,5² = 2,238 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·190³/12 + 2660·8,499² = 8,194 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 250·10³/12 + 2500·91,5² = 2,095 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,238 × 10⁷ + 8,194 × 10⁶ + 2,095 × 10⁷

I_x = 5,153 × 10⁷ mm⁴ = 51,53 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 51,53 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics