Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (5, 5, −1) и b = (3, 0, 6).

a = (5, 5, −1)b = (3, 0, 6)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(−1, −1, 3), B(1, 3, 0) и C(3, 3, 2). Координаты даны в метрах.

A(−1, −1, 3)B(1, 3, 0)C(3, 3, 2)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 4 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 10 kN в 5 mM = 60 kN·m (против часовой стрелки) в 4 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 0,5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 40° к горизонтали, а на расстоянии 5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 6 mP = 20 kN в 0,5 m, θ = 40°Q = 50 kN в 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 35 kN ↓F: 15 kN ↓G: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 20 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,75 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 5 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 5 kNAD = 1 mAB = 1,5 mAC = 0,75 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 3 m друг от друга, а B находится на высоте 3 m и на 0,9 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 12 kN в точке K на расстоянии 0,45 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 3 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 12 kNQ = 3 kNL = 3 mH = 3 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,9 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,45 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 4 kN/m от 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mw = 8 kN/m от 1 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 240 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 160 mm. Толщина основания и полок 10 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 240 mmh = 160 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = 9

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = 5·3 + 5·0 + (−1)·6 = 15 + 0 + (−6) = 9

Ответ

a·b = 9

Положительное: угол между векторами меньше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 7,55 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (2, 4, −3)

AC = C − A = (4, 4, −1)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 4·(−1) − (−3)·4 = 8

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−3)·4 − 2·(−1) = −10

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 2·4 − 4·4 = −8

|AB × AC| = √(8² + (−10)² + (−8)²) = 15,1

Площадь треугольника

A = ½·15,1 = 7,55 m²

Ответ

A = 7,55 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = −1 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 10·5 + 60 = 0

R_B = −10/10 = −1 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 10 − (−1) = 11 kN

Ответ

R_B = −1 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 25,29 kN

Составляющие P

P_v = 20·sin 40° = 12,86 kN

P_h = 20·cos 40° = 15,32 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12,86·0,5 + 50·5 → R_B = 42,74 kN

A_y = 12,86 + 50 − 42,74 = 20,12 kN

A_x = P_h = 15,32 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(15,32² + 20,12²) = 25,29 kN

Ответ

R_A = 25,29 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 40 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 50 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 50 kN (C), AF: 56,57 kN (C), HE: 70,71 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 50 kN (T), BG: 35,36 kN (C), DG: 21,21 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −22,36 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·1 − 10·2 → C_y = 0 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 0 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 10 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,8944 = −22,36 kN

Ответ

F_AB = −22,36 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 10,31 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 5·1,5/(0,6·1) = 12,5 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (к стене)

A_y = 5 − F_CD·sin α = −2,5 kN

Модуль

A = √(10² + −2,5²) = 10,31 kN

Ответ

A = 10,31 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 0,36 kN

Направление BC

BC = 3,662 m, cos = 0,5735, sin = 0,8192

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,8192·3 = 12·0,45 + 3·3

F_BC = 5,859 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 3 − 5,859·0,5735 = 0

A_x = 0,36 kN → |A_x| = 0,36 kN

Ответ

A_x = 0,36 kN

A_x направлена вправо.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 12,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 10·2,5 − 4·2,5·1,25 = 12,5 kN·m

Ответ

M_x = 12,5 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 23,04 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·4·3

R_B = 96/5 = 19,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 19,2 = 12,8 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 12,8/8 = 2,6 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 12,8·2,6 − 8·1,6²/2 = 23,04 kN·m

Ответ

M_max = 23,04 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 49,44 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 240·10 = 2400 mm², y₁ = 5 mm

две полки: A₂ = 2·10·150 = 3000 mm², y₂ = 10 + 150/2 = 85 mm

Центр тяжести

ȳ = (2400·5 + 3000·85)/5400 = 49,44 mm

Ответ

ȳ = 49,44 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 26,68 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стенка: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·227,5 + 3960·110)/5760 = 146,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·15³/12 + 1800·(227,5 − 146,7)² = 1,178 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 146,7)² = 2,131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,178 × 10⁷ + 2,131 × 10⁷ = 3,309 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 235 − 146,7 = 88,28 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·88,28/3,309 × 10⁷ = 26,68 MPa

Ответ

σ_верх = 26,68 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics