Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (5, 3, 1) и b = (1, −4, 5).

a = (5, 3, 1)b = (1, −4, 5)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (−1, 1, −6) и b = (2, 5, −4) найдите y-компоненту (a × b)_y векторного произведения a × b.

a = (−1, 1, −6)b = (2, 5, −4)

(a × b)_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 3 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 35 kN в 1 mM = 20 kN·m (по часовой стрелке) в 3 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2 m от A действует сила P, наклонённая под углом 60° к горизонтали, а на расстоянии 9 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 10 mP = 45 kN в 2 m, θ = 60°Q = 65 kN в 9 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 15 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓C: 30 kN ↓D: 35 kN ↓H: 30 kN ↓H: 35 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,6 m над землёй. Вертикальная нагрузка 2 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,9 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 2 kNAB = 3 mвысота C = 2 mвысота DE = 0,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,9 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 150 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 15 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 2000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 2000 NAB = BC = 150 mmh = 15 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 3 m20 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 9 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 40 kN в 6 mw = 8 kN/m от 0 до 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 100 mm и толщиной 18 mm, полную высоту 460 mm и стенку толщиной 10 mm. Найдите его момент сопротивления S_x при изгибе относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 100 mmH = 460 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 30 MPa при растяжении и 150 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −2

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = 5·1 + 3·(−4) + 1·5 = 5 + (−12) + 5 = −2

Ответ

a·b = −2

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_y = −16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−4) − (−6)·5 = 26

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·2 − (−1)·(−4) = −16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·5 − 1·2 = −7

Искомая компонента

(a × b)_y = −16

Ответ

(a × b)_y = −16

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 29,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 35·1 − 20 = 0

R_B = 55/10 = 5,5 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 35 − 5,5 = 29,5 kN

Ответ

R_A = 29,5 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 43,88 kN

Составляющие P

P_v = 45·sin 60° = 38,97 kN

P_h = 45·cos 60° = 22,5 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·10 = 38,97·2 + 65·9 → R_B = 66,29 kN

A_y = 38,97 + 65 − 66,29 = 37,68 kN

A_x = P_h = 22,5 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(22,5² + 37,68²) = 43,88 kN

Ответ

R_A = 43,88 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −6,76 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 15·2 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3,75 = 11,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/7,211 = 0,5547, cos γ = 6/7,211 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,5547 = −6,76 kN

Ответ

F_BC = −6,76 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 30,42 kN (T), BC: 30,42 kN (T), CD: 81,25 kN (T), DE: 81,25 kN (T), FG: 110,8 kN (C), GH: 110,8 kN (C), AF: 81,77 kN (C), HE: 101,6 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 56,77 kN (T), HC: 6,771 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 0,6429 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 2·0,9/3 = 0,6 kN

Ножка BC: моменты относительно C

0,6·1,5 = T·1,4

T = 0,6429 kN

Ответ

T = 0,6429 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 402 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Угол звена

sin θ = 15/150 = 0,1, θ = 5,739°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 2010 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·2000·tan θ = 402 N

Ответ

F = 402 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 46,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 66,67, M_D = 100 kN·m, M_E = 73,33, M_F = 46,67, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 100 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 60 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·6 + 8·10·5

R_B = 640/10 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 64 = 56 kN

Рассеките в x = 9 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 56·9 − 40·(9 − 6) − 8·9·4,5 = 60 kN·m

Ответ

M_x = 60 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: S_x = 1041 × 10³ mm³

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 460 − 2·18 = 424 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·460³ − 90·424³)/12

I_x = 2,394 × 10⁸ mm⁴

Момент сопротивления сечения

c = H/2 = 230 mm

S_x = I/c = 2,394 × 10⁸/230

S_x = 1,041 × 10⁶ mm³ = 1041 × 10³ mm³

Ответ

S_x = 1041 × 10³ mm³

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 6,094 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (1500·167,5 + 2560·80)/4060 = 112,3 mm

верхняя кромка: c = 175 − 112,3 = 62,67 mm

Момент инерции сечения

I = 100·15³/12 + 1500·55,17² + 16·160³/12 + 2560·32,33² = 1,273 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 30·1,273 × 10⁷/62,67 = 6,094 kN·m

нижняя кромка: M = 150·1,273 × 10⁷/112,3 = 17 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 6,094 kN·m (верхняя кромка)

Ответ

M_allow = 6,094 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics