Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Единичный вектор
û = a/|a|
Компоненты по углу
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярное произведение
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b
a·b/|b|
Работа
W = F·d
Векторное произведение
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площади
параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O
MO = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда
V = |a·(b × c)|

Метод

  1. Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
  2. Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
  3. Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

  1. Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
  2. Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
  3. Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
  4. Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
xyzab

Найдите угол θ между векторами a = (−6, −5, −3) и b = (6, 5, 1) в градусах.

a = (−6, −5, −3)b = (6, 5, 1)
θ = °
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
xyzab

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (2, 3, −3) и b = (3, 2, −1) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его x-компоненту n̂x.

a = (2, 3, −3)b = (3, 2, −1)n̂z > 0
n̂x =
3.Опорные реакции балокСредняя
w = 2 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?5 m3 m

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от стены. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.

L = 8 mP = 10 kN в 5 mw = 2 kN/m от 0 до 8 m
MA = kN·m
4.Опорные реакции балокСложная
w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?2 m0,5 m0,5 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 5 mP = 35 kN в 2,5 mw = 10 kN/m от 2 до 3 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABBCACACB35 kN8 m3 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN
FAC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABCDEFGH25 kN25 kN20 kN15 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 25 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент BG
  13. 13элемент DG
7.Рамы и механизмыСредняя
OAB80 NQ300 mm75 mmFO​ = ?

Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 80 N в точке A (300 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (75 mm выше O). Найдите модуль реакции FO в шарнире.

F = 80 NOA = 300 mmOB = 75 mm
FO = N
8.Рамы и механизмыСложная
8 kN3 m0,8 m3,2 mABCDE

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 8 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 8 kNAB = 3 mвысота C = 4 mвысота DE = 0,8 m
T = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
P1​ = 80 kNP2​ = 15 kNABC1 m7 m1,5 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P1 между опорами и сосредоточенной силой P2 в C. Найдите изгибающий момент Mx под силой P1. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 9,5 mP1 = 80 kN в 1 mP2 = 15 kN в 9,5 mопоры при x = 0 и x = 8 m
Mx = kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 4 kN/mABC6 m1,5 m

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние xc от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 7,5 mw = 4 kN/m от 0 до 7,5 mопоры при x = 0 и x = 6 m
xc = m
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
1803030020xразмеры в mm

Найдите момент инерции Ix таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

bf = 180 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
170220243901014xразмеры в mm

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 170 × 24 mm, стенку высотой 390 mm и толщиной 14 mm и нижнюю полку 220 × 10 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции Ix относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 170 × 24 mmстенка: 14 × 390 mmнижняя полка: 220 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 166,3 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−6)·6 + (−5)·5 + (−3)·1 = −64

Модули

|a| = √((−6)² + (−5)² + (−3)²) = 8,367
|b| = √(6² + 5² + 1²) = 7,874

Угол

cos θ = −64/(8,367·7,874) = −0,9715
θ = arccos(−0,9715) = 166,3°

Ответ

θ = 166,3°
2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂x = −0,3293

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)x = aybz − azby = 3·(−1) − (−3)·2 = 3
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·3 − 2·(−1) = −7
(a × b)z = axby − aybx = 2·2 − 3·3 = −5

Нормирование

z-компонента a × b отрицательна, поэтому берите −(a × b).

|a × b| = √(3² + (−7)² + (−5)²) = 9,11
n̂ = −(3, −7, −5)/9,11 = (−0,3293, 0,7683, 0,5488)
n̂x = −0,3293

Ответ

n̂x = −0,3293
3.Опорные реакции балок

Ответ: MA = 114 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию RA и реактивный момент MA. ΣFy = 0 даёт RA, а моменты относительно стены дают MA = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 2·8 = 16 kN, x̄ = 4 m

Момент относительно стены

MA = P·a + W·x̄ = 10·5 + 16·4 = 114 kN·m

Ответ

MA = 114 kN·m
4.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 22,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​RB​2 m0,5 m0,5 m2 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, приложена в x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2,5 + 10·1·2,5
RB = 112,5/5 = 22,5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Ответ

RB = 22,5 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 32,81 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·8 = 35·3 → Cy = 13,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 13,13 = 21,88 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −13,13/0,3714 = −35,34 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−35,34)·0,9285 = 32,81 kN

Ответ

FAC = 32,81 kN (растяжение)
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 12,5 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 40 kN (T), DE: 42,5 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 60,1 kN (C), BF: 27,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 38,89 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG
7.Рамы и механизмы

Ответ: FO = 329,8 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а Fin·a = Fout·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Сила в B

Q = 80·300/75 = 320 N

Реакция в шарнире

Ox = 320 N, Oy = 80 N
FO = √(320² + 80²) = 329,8 N

Ответ

FO = 329,8 N
8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 5 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

By·3 = 8·4
By = 10,67 kN

Ножка BC: моменты относительно C

10,67·1,5 = T·3,2
T = 5 kN

Ответ

T = 5 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 67,19 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·1 + 15·9,5
RB = 222,5/8 = 27,81 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 27,81 = 67,19 kN

Сечение под P1, оставляем левую часть

Mx = RA·1 = 67,19·1 = 67,19 kN·m

Ответ

Mx = 67,19 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: xc = 5,625 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·7,5 = 30 kN, приложена в x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·7,5·3,75
RB = 112,5/6 = 18,75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = RA·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·11,25/4 = 5,625 m

Ответ

xc = 5,625 m
11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: Ix = 122,8 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm
стенка: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5400·315 + 6000·150)/11400 = 228,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·30³/12 + 5400·(315 − 228,2)² = 4,113 × 10⁷ mm⁴
стенка: 20·300³/12 + 6000·(150 − 228,2)² = 8,165 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,113 × 10⁷ + 8,165 × 10⁷ = 1,228 × 10⁸ mm⁴ = 122,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 122,8 × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: Ix = 318,3 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 4080 mm², y = 412 mm
стенка: A = 5460 mm², y = 205 mm
нижняя полка: A = 2200 mm², y = 5 mm

Центр тяжести

ȳ = (4080·412 + 5460·205 + 2200·5)/11740 = 239,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 170·24³/12 + 4080·172,5² = 1,217 × 10⁸ mm⁴
стенка: 14·390³/12 + 5460·34,46² = 7,569 × 10⁷ mm⁴
нижняя полка: 220·10³/12 + 2200·234,5² = 1,21 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1,217 × 10⁸ + 7,569 × 10⁷ + 1,21 × 10⁸
Ix = 3,183 × 10⁸ mm⁴ = 318,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 318,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics