Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (1, −1, 0) и b = (1, 5, −3) в градусах.

a = (1, −1, 0)b = (1, 5, −3)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (2, −3, 5), b = (2, −4, −3) и c = (−2, 0, 4).

a = (2, −3, 5)b = (2, −4, −3)c = (−2, 0, 4)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP₁ = 40 kN в 4 mP₂ = 30 kN в 6 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

L = 4 mP = 30 kN в 2,5 mw = 6 kN/m от 0 до 2 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN →

F_BC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,6 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 6 kNAD = 1,2 mAB = 1,5 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 6 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,2 m. В точке C действует горизонтальная сила 15 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 15 kNAB = 6 mвысота C = 4 mвысота DE = 1,2 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 75 kN в 3 mw = 2 kN/m от 0 до 3 m

M_A = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 45 kN в 1,5 mw = 5 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 300 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 100 mm. Толщина основания и полок 16 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 300 mmh = 100 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 118,6 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 1·1 + (−1)·5 + 0·(−3) = −4

Модули

|a| = √(1² + (−1)² + 0²) = 1,414

|b| = √(1² + 5² + (−3)²) = 5,916

Угол

cos θ = −4/(1,414·5,916) = −0,4781

θ = arccos(−0,4781) = 118,6°

Ответ

θ = 118,6°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 66

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·4 − (−3)·0 = −16

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−2) − 2·4 = −2

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 2·0 − (−4)·(−2) = −8

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 2·(−16) + (−3)·(−2) + 5·(−8) = −66

V = |−66| = 66

Ответ

V = 66

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 27,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·4 + 30·6

R_B = 340/8 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 42,5 = 27,5 kN

Ответ

R_A = 27,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 20,25 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, приложена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2,5 + 6·2·1

R_B = 87/4 = 21,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 21,75 = 20,25 kN

Ответ

R_A = 20,25 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −43,27 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·3 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 36 = 24 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36/0,8321 = −43,27 kN

Ответ

F_BC = −43,27 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −43,32 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 55·2 + 15·3 → C_y = 19,38 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 19,38 = 35,63 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Узел C

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −19,38/0,4472 = −43,32 kN

Ответ

F_BC = −43,32 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 15,07 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 6·1,5/(0,4472·1,2) = 16,77 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (к стене)

A_y = 6 − F_CD·sin α = −1,5 kN

Модуль

A = √(15² + −1,5²) = 15,07 kN

Ответ

A = 15,07 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 10,71 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·6 = 15·4

B_y = 10 kN

Ножка BC: моменты относительно C

10·3 = T·2,8

T = 10,71 kN

Ответ

T = 10,71 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −234 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −75·3 = −225 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −225 − 9 = −234 kN·m

Ответ

M_A = −234 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 67,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1,5 + 5·6·3

R_B = 157,5/6 = 26,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 26,25 = 48,75 kN

Где V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 41,25 kN

V(1,5⁺) = 41,25 − 45 = −3,75 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 48,75·1,5 − 5·1,5²/2 = 67,5 kN·m

Ответ

M_max = 67,5 kN·m

Он достигается при x = 1,5 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 5,991 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 300·16 = 4800 mm², y₁ = 8 mm

две полки: A₂ = 2·16·84 = 2688 mm², y₂ = 16 + 84/2 = 58 mm

Центр тяжести

ȳ = (4800·8 + 2688·58)/7488 = 25,95 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 300·16³/12 + 4800·(8 − 25,95)² = 1,649 × 10⁶ mm⁴

две полки: 2·16·84³/12 + 2688·(58 − 25,95)² = 4,342 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,649 × 10⁶ + 4,342 × 10⁶

I_x = 5,991 × 10⁶ mm⁴ = 5,991 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 5,991 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 33,86 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

стенка: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·187,5 + 2880·90)/4980 = 131,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·15³/12 + 2100·(187,5 − 131,1)² = 6,716 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·180³/12 + 2880·(90 − 131,1)² = 1,264 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,716 × 10⁶ + 1,264 × 10⁷ = 1,936 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 131,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·131,1/1,936 × 10⁷ = 33,86 MPa

Ответ

σ_низ = 33,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics