Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (−15, −15, −5) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(−3, −1, −4) в точку B(−4, 3, −3). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (−15, −15, −5) NA(−3, −1, −4) mB(−4, 3, −3) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A параллелограмма, построенного на a = (−5, −2, 1) и b = (−2, −6, −3).

a = (−5, −2, 1)b = (−2, −6, −3)

A =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 5 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 6 mP = 60 kN в 3 mM = 10 kN·m (по часовой стрелке) в 5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 4,5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 50° к горизонтали, а на расстоянии 2,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 6 mP = 70 kN в 4,5 m, θ = 50°Q = 55 kN в 2,5 m

α = °

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 4 m друг от друга, а B находится на высоте 3 m над землёй и на 0,6 m правее A. Вертикальная нагрузка 4 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,24 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 4 kNL = 4 mH = 3 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,6 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,24 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 0,6 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 3 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 6 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 3 kN/mP = 6 kNAD = 0,75 mAB = 2,5 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 10 kN/m от 0 до 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 7 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 40 kN в 7 mw = 8 kN/m от 0 до 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 70 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = −50 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (−4, 3, −3) − (−3, −1, −4) = (−1, 4, 1) m

Работа

W = F·d = (−15)·(−1) + (−15)·4 + (−5)·1 = −50 J

Ответ

W = −50 J

Отрицательная работа: сила действует в основном против движения.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 33,3

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·(−3) − 1·(−6) = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−2) − (−5)·(−3) = −17

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−6) − (−2)·(−2) = 26

Площадь

A = |a × b| = √(12² + (−17)² + 26²) = 33,3

Ответ

A = 33,3

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 31,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 60·3 − 10 = 0

R_B = 190/6 = 31,67 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 60 − 31,67 = 28,33 kN

Ответ

R_B = 31,67 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: α = 45,31 °

Составляющие P

P_v = 70·sin 50° = 53,62 kN

P_h = 70·cos 50° = 45 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·6 = 53,62·4,5 + 55·2,5 → R_B = 63,13 kN

A_y = 53,62 + 55 − 63,13 = 45,49 kN

A_x = P_h = 45 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(45,49/45) = 45,31°

Ответ

α = 45,31°

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 21,25 kN (T), BC: 21,25 kN (T), CD: 33,75 kN (T), DE: 33,75 kN (T), FG: 27,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 30,05 kN (C), HE: 47,73 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 25 kN (T), FC: 8,839 kN (T), HC: 8,839 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 10 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 − 25·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 5 = 35 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0,4472 = −11,18 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11,18)·0,8944 = 10 kN

Ответ

F_AC = 10 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 0,3627 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(3,4² + 3²) = 4,534 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(3/4,534)·4 = 4·0,24

F_BC = 0,3627 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 0,3627 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 52,03 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 3·2,5 = 7,5 kN в 1,25 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,6247·0,75 = 7,5·1,25 + 6·2,5 = 24,38 kN·m

F_CD = 52,03 kN

Ответ

F_CD = 52,03 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Рассеките в x = 1 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·1 − 10·1·0,5 = 25 kN·m

Ответ

M_x = 25 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 168 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·7 + 8·10·5

R_B = 680/10 = 68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 68 = 52 kN

Рассеките в x = 7 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 52·7 − 8·7·3,5 = 168 kN·m

Ответ

M_x = 168 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (20000·100 − 2827·70)/(20000 − 2827) = 104,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·200³/12 + 20000·−4,939² = 67,15 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−34,94² = 4,088 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 63,07 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 11,36 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

стенка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·215 + 3600·100)/11400 = 178,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·30³/12 + 7800·(215 − 178,7)² = 1,087 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 178,7)² = 3,429 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,087 × 10⁷ + 3,429 × 10⁷ = 4,516 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 230 − 178,7 = 51,32 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·51,32/4,516 × 10⁷ = 11,36 MPa

Ответ

σ_верх = 11,36 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics