Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (2, −6, 0) и b = (−4, −7, 2).
a = (2, −6, 0)b = (−4, −7, 2)
a·b =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−2, −1, 2), b = (−3, −2, 3) и c = (−5, 5, −4).
a = (−2, −1, 2)b = (−3, −2, 3)c = (−5, 5, −4)
V =
3.Опорные реакции балокСредняя
Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, возрастающей от нуля в A до 10 kN/m в B. Кроме того, на расстоянии 2 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.
L = 10 mw0 = 10 kN/mP = 55 kN в 2 m
RA = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD. Найдите величину реактивного момента MA в заделке.
AC = 4 mAD = 10 mP = 70 kN в 7 mw = 5 kN/m от 4 до 10 m
MA = kN·m
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kN
FAB = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
D: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓H: 30 kN ←
1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC
7.Рамы и механизмыСредняя
Угловой рычаг на рисунке поворачивается вокруг шарнира O. Вертикальная сила 80 N в точке A (150 mm от O) уравновешивается горизонтальной силой в точке B (80 mm выше O). Найдите модуль реакции FO в шарнире.
F = 80 NOA = 150 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Рамы и механизмыСложная
Однородная горизонтальная стрела AB весом 1,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите натяжение T троса.
W = 15 kNWb = 1,5 kNAB = 5 mAC = 1,5 m
T = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
20 kN @ 4 m35 kN @ 5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
45 kN @ 6 m45 kN @ 3 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Найдите момент инерции Ix таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.
bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент Mallow, который может воспринять балка (укажите его величину).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторное произведение b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−2)·(−4) − 3·5 = −7
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·(−5) − (−3)·(−4) = −27
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·5 − (−2)·(−5) = −25
Скалярное произведение с a
a·(b × c) = (−2)·(−7) + (−1)·(−27) + 2·(−25) = −9
V = |−9| = 9
Ответ
V = 9
3.Опорные реакции балок
Ответ: RA = 60,67 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Равнодействующая треугольной нагрузки
W = ½·10·10 = 50 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·10 = 50·6,667 + 55·2
RB = 44,33 kN
RA = 105 − 44,33 = 60,67 kN
Ответ
RA = 60,67 kN
4.Опорные реакции балок
Ответ: MA = 200 kN·m
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.
Часть CD
В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.
W = 5·6 = 30 kN в 3 m от C
ΣMC = 0: RD·6 = 70·3 + 30·3
RD = 50 kN
VC = 100 − 50 = 50 kN
Часть AC
Сила в шарнире VC действует на AC вниз (равна по величине и противоположна её действию на CD).
RA = 50 = 50 kN
MA = 50·4 = 200 kN·m
Ответ
MA = 200 kN·m
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: FAB = −23,72 kN
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 7,5 = 22,5 kN
Узел A
Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,9487 = −23,72 kN
Ответ
FAB = −23,72 kN (сжатие)
6.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: элемент BF
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел B
AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а Fin·a = Fout·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).
Сила в B
Q = 80·150/80 = 150 N
Реакция в шарнире
Ox = 150 N, Oy = 80 N
FO = √(150² + 80²) = 170 N
Ответ
FO = 170 N
8.Рамы и механизмы
Ответ: T = 54,81 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Угол троса
BC = √(5² + 1,5²) = 5,22 m, sin β = 0,2873
Моменты относительно A
T·0,2873·5 = 15·5 + 1,5·2,5
T = 54,81 kN
Ответ
T = 54,81 kN
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: E (x = 4 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 12,5 kN, R2 = 42,5 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = 12,5, MC = 25, MD = 37,5, ME = 50 kN·m, MF = 42,5, MG = 0
Ответ
Отметка E: ME = 50 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: F (x = 5 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 9 kN, R2 = 81 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = 9, MC = 18, MD = 27, ME = −9, MF = −45 kN·m, MG = 0
Ответ
Отметка F: MF = −45 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Ix = 20,65 × 10⁶ mm⁴
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.
Разбейте на два прямоугольника
Отсчитывайте каждое y от нижнего края.
полка: Af = 100·15 = 1500 mm², yf = 200 + 15/2 = 207,5 mm
стенка: Aw = 14·200 = 2800 mm², yw = 200/2 = 100 mm
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.