Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−3, 2, −5) и b = (5, 0, −4) в градусах.

a = (−3, 2, −5)b = (5, 0, −4)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−4, 5, 1), b = (−2, 4, −5) и c = (3, 2, 0).

a = (−4, 5, 1)b = (−2, 4, −5)c = (3, 2, 0)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 4,5 m от стены. Найдите вертикальную реакцию R_A в заделке.

L = 6 mP = 15 kN в 4,5 mw = 3 kN/m от 0 до 6 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 8 mP = 55 kN в 5 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 6 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m над землёй и на 0,9 m правее A. Вертикальная нагрузка 12 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,675 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 12 kNL = 6 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,9 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,675 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4,5 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,5 m. В точке C действует горизонтальная сила 10 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 10 kNAB = 3 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 2 kN/m от 0 до 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6,5 mw = 3 kN/m от 0 до 6,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_B = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 82,72 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−3)·5 + 2·0 + (−5)·(−4) = 5

Модули

|a| = √((−3)² + 2² + (−5)²) = 6,164

|b| = √(5² + 0² + (−4)²) = 6,403

Угол

cos θ = 5/(6,164·6,403) = 0,1267

θ = arccos(0,1267) = 82,72°

Ответ

θ = 82,72°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 131

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·0 − (−5)·2 = 10

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−5)·3 − (−2)·0 = −15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−2)·2 − 4·3 = −16

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−4)·10 + 5·(−15) + 1·(−16) = −131

V = |−131| = 131

Ответ

V = 131

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 33 kN

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m

Равновесие по вертикали

R_A = P + W = 15 + 18 = 33 kN

Ответ

R_A = 33 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 13,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 55·1

R_D = 13,75 kN

V_C = 55 − 13,75 = 41,25 kN

Ответ

R_D = 13,75 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 34,69 kN (T), BC: 43,12 kN (T), CD: 43,12 kN (T), DE: 32,81 kN (T), FG: 34,69 kN (C), GH: 32,81 kN (C), AF: 57,81 kN (C), HE: 54,69 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 14,06 kN (C), DG: 17,19 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 57,5 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 75 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 24,75 kN (C), HE: 88,39 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 24,75 kN (C), DG: 17,68 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 3,698 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(5,1² + 2²) = 5,478 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2/5,478)·6 = 12·0,675

F_BC = 3,698 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 3,698 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 7,5 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·3 = 10·4,5

B_y = 15 kN

Ножка BC: моменты относительно C

15·1,5 = T·3

T = 7,5 kN

Ответ

T = 7,5 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 6,75 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 6·4,5 − 2·4,5·2,25 = 6,75 kN·m

Ответ

M_x = 6,75 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −3,375 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6,5 = 19,5 kN, приложена в x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·6,5·3,25

R_B = 63,38/5 = 12,68 kN

ΣF_y = 0: R_A = 19,5 − 12,68 = 6,825 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −3·1,5²/2 = −3,375 kN·m

Ответ

M_B = −3,375 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,75 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

стенка: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·235 + 2200·110)/6400 = 192 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·30³/12 + 4200·(235 − 192)² = 8,07 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·220³/12 + 2200·(110 − 192)² = 2,368 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,07 × 10⁶ + 2,368 × 10⁷ = 3,175 × 10⁷ mm⁴ = 31,75 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,75 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 8,178 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стенка: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·210 + 2800·100)/7600 = 169,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·20³/12 + 4800·(210 − 169,5)² = 8,043 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·200³/12 + 2800·(100 − 169,5)² = 2,285 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,043 × 10⁶ + 2,285 × 10⁷ = 3,089 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 220 − 169,5 = 50,53 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·50,53/3,089 × 10⁷ = 8,178 MPa

Ответ

σ_верх = 8,178 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics