Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите значение k, при котором векторы a = (2, −2, −1) и b = (k, 0, −6) перпендикулярны.
a = (2, −2, −1)b = (k, 0, −6)
k =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (3, −4, −5), b = (0, 3, −5) и c = (−2, 1, −2).
a = (3, −4, −5)b = (0, 3, −5)c = (−2, 1, −2)
V =
3.Опорные реакции балокСредняя
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 5 m от A. Найдите вертикальную реакцию RA, считая положительным направление вверх.
L = 8 mP = 40 kN в 1 mM = 10 kN·m (по часовой стрелке) в 5 m
RA = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.
L = 8 mP = 20 kN в 7 mw = 5 kN/m от 4 до 8 m
RA = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.
C: 15 kN ↓D: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ←
1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC
7.Рамы и механизмыСредняя
В показанном коленно-рычажном зажиме два равных звена AB и BC соединены шарниром в B, и каждое составляет угол 10° с прямой AC. В точке B приложена направленная вниз сила 150 N. Ползун C прижимает заготовку. Пренебрегая трением и весом, найдите горизонтальную зажимную силу Q.
F = 150 Nθ = 10°
Q = N
8.Рамы и механизмыСложная
Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 100 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 30 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 2500 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.
Q = 2500 NAB = BC = 100 mmh = 30 mm
F = N
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
40 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
50 kN @ 12 m4 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 120 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 60 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.
b = 120 mmh = 60 mmt = 12 mm
ȳ = mm
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Пластина 100 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения Ix относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.
b = 100 mmh = 150 mmвырез: 40 × 20 mmцентр отверстия: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Растворы
1.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: k = −3
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Скалярное произведение равно нулю
a·b = 2·k + (−2)·0 + (−1)·(−6) = 0
6 + 2·k = 0
Найдите k
k = −6/2 = −3
Ответ
k = −3
2.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: V = 73
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторное произведение b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 3·(−2) − (−5)·1 = −1
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−5)·(−2) − 0·(−2) = 10
(b × c)z = bxcy − bycx = 0·1 − 3·(−2) = 6
Скалярное произведение с a
a·(b × c) = 3·(−1) + (−4)·10 + (−5)·6 = −73
V = |−73| = 73
Ответ
V = 73
3.Опорные реакции балок
Ответ: RA = 33,75 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Моменты относительно A
Против часовой стрелки — положительно.
ΣMA = 0: RB·8 − 40·1 − 10 = 0
RB = 50/8 = 6,25 kN
Равновесие по вертикали
RA = 40 − 6,25 = 33,75 kN
Ответ
RA = 33,75 kN
Отрицательная реакция направлена вниз.
4.Опорные реакции балок
Ответ: RA = 7,5 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, приложена в x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·7 + 5·4·6
RB = 260/8 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 32,5 = 7,5 kN
Ответ
RA = 7,5 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: FBC = −11,27 kN
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN
Узел C
Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.
Узел B
AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Проверка методом вырезания узлов
Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).
Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а Fin·a = Fout·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).
Равновесие шарнира B
2·Flink·sin 10° = 150
Flink = 431,9 N
Зажимная сила
Q = Flink·cos 10° = 150/(2·tan 10°) = 425,3 N
Ответ
Q = 425,3 N
Отношение сил Q/F = 2,836 неограниченно растёт по мере выпрямления звеньев.
8.Рамы и механизмы
Ответ: F = 1572 N
Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а Fin·a = Fout·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).
Угол звена
sin θ = 30/100 = 0,3, θ = 17,46°
Сила в звене
Flink = Q/cos θ = 2621 N
Сила в B
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 1572 N
Ответ
F = 1572 N
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: E (x = 4 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 31,33 kN, R2 = 44,67 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = 28,33, MC = 50,67, MD = 67, ME = 77,33 kN·m, MF = 41,67, MG = 0
Ответ
Отметка E: ME = 77,33 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: F (x = 10 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 10 kN, R2 = 80 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = 12, MC = 8, MD = −12, ME = −48, MF = −100 kN·m, MG = 0
Ответ
Отметка F: MF = −100 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: ȳ = 19,33 mm
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.
Разбиваем на прямоугольники
Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.
основа: A1 = 120·12 = 1440 mm², y1 = 6 mm
две полки: A2 = 2·12·48 = 1152 mm², y2 = 12 + 48/2 = 36 mm
Центр тяжести
ȳ = (1440·6 + 1152·36)/2592 = 19,33 mm
Ответ
ȳ = 19,33 mm
12.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Ix = 27,91 × 10⁶ mm⁴
Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника Ic = bh³/12, для круга Ic = πd⁴/64.