Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−4, 5, −2) на b = (6, 5, 6), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−4, 5, −2)b = (6, 5, 6)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, 50, −10) N действует в точке A(−2, −4, 4). Координаты даны в метрах. Найдите y-компоненту M_y момента силы относительно точка O(0, 3, −1).

F = (−40, 50, −10) NA(−2, −4, 4) mO(0, 3, −1) m

M_y = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4,5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 60 kN в 3,5 mP₂ = 60 kN в 6 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 4 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 10 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 4 mAD = 10 mP = 20 kN в 5 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 3 mB на расстоянии 2 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓F: 35 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓H: 40 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,6 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 3 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 3 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 8 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m и на 2,4 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 8 kN в точке K на расстоянии 1,44 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 6 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 8 kNQ = 6 kNL = 8 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 2,4 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,44 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP₁ = 40 kN в 6 mP₂ = 20 kN в 10 mопоры при x = 0 и x = 8 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 0 m10 kN @ 12 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = −1,117

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−4)·6 + 5·5 + (−2)·6 = −11

Длина b

|b| = √(6² + 5² + 6²) = 9,849

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = −11/9,849 = −1,117

Ответ

comp_b a = −1,117

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_y = −220 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−2, −4, 4) − (0, 3, −1) = (−2, −7, 5) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−7)·(−10) − 5·50 = −180 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·(−40) − (−2)·(−10) = −220 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·50 − (−7)·(−40) = −380 N·m

Искомая компонента

M_y = −220 N·m

Ответ

M_y = −220 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 126,7 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 60·3,5 + 60·6

R_B = 570/4,5 = 126,7 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 60 + 60 − 126,7 = −6,667 kN

Ответ

R_B = 126,7 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 3,333 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

ΣM_C = 0: R_D·6 = 20·1

R_D = 3,333 kN

V_C = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Ответ

R_D = 3,333 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 5 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·2 → C_y = 2,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2,5 = 7,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −2,5/0,4472 = −5,59 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−5,59)·0,8944 = 5 kN

Ответ

F_AC = 5 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 20 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 25 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 35,36 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 15 kN (C), DH: 0, FC: 14,14 kN (T), HC: 7,071 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 13,29 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 3·2,5/(0,5145·1) = 14,58 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 12,5 kN (к стене)

A_y = 3 − F_CD·sin α = −4,5 kN

Модуль

A = √(12,5² + −4,5²) = 13,29 kN

Ответ

A = 13,29 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 2,232 kN

Направление BC

BC = 5,946 m, cos = 0,9417, sin = 0,3363

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,3363·8 = 8·1,44 + 6·2

F_BC = 8,741 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 6 − 8,741·0,9417 = 0

A_x = 2,232 kN → |A_x| = 2,232 kN

Ответ

A_x = 2,232 kN

A_x направлена вправо.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 30 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·6 + 20·10

R_B = 440/8 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 55 = 5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·6 = 5·6 = 30 kN·m

Ответ

M_x = 30 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 92 kN, R₂ = 32 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −32, M_D = 4, M_E = 8, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −100 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 20,13 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стенка: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·185 + 2880·90)/5480 = 135,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·10³/12 + 2600·(185 − 135,1)² = 6,503 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·180³/12 + 2880·(90 − 135,1)² = 1,363 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,503 × 10⁶ + 1,363 × 10⁷ = 2,013 × 10⁷ mm⁴ = 20,13 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 20,13 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 60,21 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

стенка: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·227,5 + 4400·110)/8300 = 165,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·15³/12 + 3900·(227,5 − 165,2)² = 1,52 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·220³/12 + 4400·(110 − 165,2)² = 3,116 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,52 × 10⁷ + 3,116 × 10⁷ = 4,636 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 235 − 165,2 = 69,79 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·69,79/4,636 × 10⁷ = 60,21 MPa

Ответ

σ_верх = 60,21 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Статика: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Метод

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Рамы и механизмы

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Центр тяжести и момент инерции

2Тренировочные задачи

3Растворы

Скалярное произведение

Длина b

Скалярная проекция

Ответ

Радиус-вектор из O в A

Момент M = r × F

Искомая компонента

Ответ

Моменты относительно A

Равновесие по вертикали

Ответ

Часть CD

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Узел D

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Сила в стойке

Составляющие в A

Модуль

Ответ

Направление BC

Вся рама: моменты относительно A

Горизонтальный баланс

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Изгибающий момент в каждой отметке

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Напряжение изгиба

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть