Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Постоянная сила F = (0, −20, −15) N действует на тело, которое движется по прямой из точки A(3, 5, −3) в точку B(0, −1, 1). Координаты даны в метрах. Найдите работу W этой силы.

F = (0, −20, −15) NA(3, 5, −3) mB(0, −1, 1) m

W = J

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Единичный вектор n̂ перпендикулярен обоим векторам a = (3, 1, 0) и b = (5, 0, 2) и имеет положительную z-компоненту. Найдите его x-компоненту n̂_x.

a = (3, 1, 0)b = (5, 0, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 3,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 4 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 6 mP = 55 kN в 3,5 mM = 25 kN·m (по часовой стрелке) в 4 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 20 kN в 2,5 mw = 12 kN/m от 2 до 4 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 4 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m над землёй и на 2,4 m правее A. Вертикальная нагрузка 8 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 1,8 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 8 kNL = 4 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 2,4 mгоризонтальное расстояние от A до K = 1,8 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 0,75 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 2 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 3 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 2 kN/mP = 3 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 10 kN/m от 0 до 8 mx = 2,5 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 9,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 10 kN в 4 mw = 8 kN/m от 0 до 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 70 mm и внутренний диаметр d = 54 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 70 mmd = 54 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: W = 60 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемещение

d = B − A = (0, −1, 1) − (3, 5, −3) = (−3, −6, 4) m

Работа

W = F·d = 0·(−3) + (−20)·(−6) + (−15)·4 = 60 J

Ответ

W = 60 J

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: n̂_x = −0,2481

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·2 − 0·0 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·5 − 3·2 = −6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·0 − 1·5 = −5

Нормирование

z-компонента a × b отрицательна, поэтому берите −(a × b).

|a × b| = √(2² + (−6)² + (−5)²) = 8,062

n̂ = −(2, −6, −5)/8,062 = (−0,2481, 0,7442, 0,6202)

n̂_x = −0,2481

Ответ

n̂_x = −0,2481

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 36,25 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 55·3,5 − 25 = 0

R_B = 217,5/6 = 36,25 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 55 − 36,25 = 18,75 kN

Ответ

R_B = 36,25 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2,5 + 12·2·3

R_B = 122/6 = 20,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 20,33 = 23,67 kN

Ответ

R_A = 23,67 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 28,33 kN (T), BC: 28,33 kN (T), CD: 18,33 kN (T), DE: 18,33 kN (T), FG: 23,33 kN (C), GH: 23,33 kN (C), AF: 35,42 kN (C), HE: 22,92 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 6,25 kN (C), HC: 6,25 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 16,01 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·5 + 25·4 → C_y = 50 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 50 = −10 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−10/0,6247 = 16,01 kN

Ответ

F_AB = 16,01 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 4,61 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(1,6² + 2²) = 2,561 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2/2,561)·4 = 8·1,8

F_BC = 4,61 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 4,61 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 14,73 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 2·2 = 4 kN в 1 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,4244·1,6 = 4·1 + 3·2 = 10 kN·m

F_CD = 14,73 kN

Ответ

F_CD = 14,73 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = 15 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 40 − 10·2,5 = 15 kN

Ответ

V_x = 15 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 21 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 8·10·5

R_B = 440/10 = 44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 44 = 46 kN

Рассеките в x = 9,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 46·9,5 − 10·(9,5 − 4) − 8·9,5·4,75 = 21 kN·m

Ответ

M_x = 21 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 22,1 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 1558 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 761195 mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(761195/1558) = 22,1 mm

Ответ

r = 22,1 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 35,26 kN·m

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Центр тяжести

ȳ = (7500·272,5 + 4160·130)/11660 = 221,7 mm

верхняя кромка: c = 285 − 221,7 = 63,34 mm

Момент инерции сечения

I = 300·25³/12 + 7500·50,84² + 16·260³/12 + 4160·91,66² = 7,816 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 40·7,816 × 10⁷/63,34 = 49,36 kN·m

нижняя кромка: M = 100·7,816 × 10⁷/221,7 = 35,26 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 35,26 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 35,26 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics