Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Единичный вектор
û = a/|a|
Компоненты по углу
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Скалярное произведение
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b
a·b/|b|
Работа
W = F·d
Векторное произведение
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Площади
параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O
MO = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда
V = |a·(b × c)|

Метод

  1. Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
  2. Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
  3. Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент
M = F·d

Метод

  1. Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
  2. Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
  3. Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
  4. Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

  1. Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
  2. Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
  3. Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
  4. Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Метод

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
xyzab

Найдите скалярную проекцию compb a вектора a = (−4, 7, 4) на b = (−2, −2, 0), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−4, 7, 4)b = (−2, −2, 0)
compb a =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
xyzabc

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−1, 5, 3), b = (−1, 3, 3) и c = (−5, 3, 5).

a = (−1, 5, 3)b = (−1, 3, 3)c = (−5, 3, 5)
V =
3.Опорные реакции балокСредняя
P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1 m3,5 m1,5 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 6 mP1 = 10 kN в 1 mP2 = 20 kN в 4,5 m
RB = kN
4.Опорные реакции балокСложная
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?2 m1,5 m0,5 m2 m

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.

L = 6 mP = 25 kN в 3,5 mw = 5 kN/m от 2 до 4 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
ABCDEFGH35 kN10 kN10 kN25 kN4 × 4 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 35 kN ↓C: 10 kN ↓F: 10 kN ↓G: 25 kN ↓
  1. 1элемент AB
  2. 2элемент BC
  3. 3элемент CD
  4. 4элемент DE
  5. 5элемент FG
  6. 6элемент GH
  7. 7элемент AF
  8. 8элемент HE
  9. 9элемент BF
  10. 10элемент CG
  11. 11элемент DH
  12. 12элемент FC
  13. 13элемент HC
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
ABBCACACB35 kN10 kN5 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN ←
FAC = kN
7.Рамы и механизмыСредняя
6 kN1,2 m1,2 m1 mABCD

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 6 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 6 kNAD = 1,2 mAB = 2,4 mAC = 1 m
A = kN
8.Рамы и механизмыСложная
15 kN2,4 m1 m3,5 mABCDE

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4,5 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1 m. В точке C действует горизонтальная сила 15 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 15 kNAB = 2,4 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1 m
T = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
35 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

35 kN @ 2 m10 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
w = 5 kN/mP = 50 kNABсечение2 m1,5 m2,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 50 kN в 2 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
2602022018xразмеры в mm

Найдите момент инерции Ix таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
2802524020xM = 25 kN·mразмеры в mm

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σверх на верхнем крае.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 240 mmM = 25 kN·m
σверх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: compb a = −2,121

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−4)·(−2) + 7·(−2) + 4·0 = −6

Длина b

|b| = √((−2)² + (−2)² + 0²) = 2,828

Скалярная проекция

compb a = a·b/|b| = −6/2,828 = −2,121

Ответ

compb a = −2,121

Отрицательная: у a есть компонента, направленная против b.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 20

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = 3·5 − 3·3 = 6
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·(−5) − (−1)·5 = −10
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·3 − 3·(−5) = 12

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−1)·6 + 5·(−10) + 3·12 = −20
V = |−20| = 20

Ответ

V = 20
3.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 16,67 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m3,5 m1,5 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣMA = 0: RB·6 = 10·1 + 20·4,5
RB = 100/6 = 16,67 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 16,67 = 13,33 kN

Ответ

RB = 16,67 kN
4.Опорные реакции балок

Ответ: RB = 19,58 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​2 m1,5 m0,5 m2 m

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·3,5 + 5·2·3
RB = 117,5/6 = 19,58 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 19,58 = 15,42 kN

Ответ

RB = 19,58 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 68,33 kN (T), BC: 68,33 kN (T), CD: 38,33 kN (T), DE: 38,33 kN (T), FG: 76,67 kN (C), GH: 76,67 kN (C), AF: 85,42 kN (C), HE: 47,92 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 10,42 kN (T), HC: 47,92 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH
6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: FAC = 6 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB35 kN10 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·1 − 10·2 → Cy = 3 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 3 = 32 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3/0,4472 = −6,708 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−6,708)·0,8944 = 6 kN

Ответ

FAC = 6 kN (растяжение)
7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 15,6 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

FCD = 6·2,4/(0,6402·1,2) = 18,74 kN

Составляющие в A

Ax = FCD·cos α = 14,4 kN (к стене)
Ay = 6 − FCD·sin α = −6 kN

Модуль

A = √(14,4² + −6²) = 15,6 kN

Ответ

A = 15,6 kN

Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 9,643 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

By·2,4 = 15·4,5
By = 28,13 kN

Ножка BC: моменты относительно C

28,13·1,2 = T·3,5
T = 9,643 kN

Ответ

T = 9,643 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 26,67 kN, R2 = 18,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 26,67, MC = 53,33 kN·m, MD = 45, ME = 36,67, MF = 18,33, MG = 0

Ответ

Отметка C: MC = 53,33 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: Mx = 63,54 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2 + 5·6·3
RB = 190/6 = 31,67 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 31,67 = 48,33 kN
w = 5 kN/mP = 50 kNABRA​ = 48,33RB​ = 31,67сечение2 m1,5 m2,5 m

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 48,33·3,5 − 50·(3,5 − 2) − 5·3,5·1,75 = 63,54 kN·m

Ответ

Mx = 63,54 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: Ix = 48,52 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
стенка: Aw = 18·220 = 3960 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·230 + 3960·110)/9160 = 178,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·20³/12 + 5200·(230 − 178,1)² = 1,417 × 10⁷ mm⁴
стенка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 178,1)² = 3,435 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,417 × 10⁷ + 3,435 × 10⁷ = 4,852 × 10⁷ mm⁴ = 48,52 × 10⁶ mm⁴

Ответ

Ix = 48,52 × 10⁶ mm⁴
12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σверх = 22,62 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252,5 mm
стенка: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·252,5 + 4800·120)/11800 = 198,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·25³/12 + 7000·(252,5 − 198,6)² = 2,07 × 10⁷ mm⁴
стенка: 20·240³/12 + 4800·(120 − 198,6)² = 5,27 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,07 × 10⁷ + 5,27 × 10⁷ = 7,34 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 265 − 198,6 = 66,4 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·66,4/7,34 × 10⁷ = 22,62 MPa

Ответ

σверх = 22,62 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics