Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (2, 5, −3) и b = (−4, −2, −4) в градусах.

a = (2, 5, −3)b = (−4, −2, −4)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (4, −1, −2), b = (5, −1, −2) и c = (3, −3, 1).

a = (4, −1, −2)b = (5, −1, −2)c = (3, −3, 1)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP₁ = 40 kN в 2 mP₂ = 20 kN в 7 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mP = 25 kN в 7 mw = 8 kN/m от 0 до 1 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 20 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2,4 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1 m над землёй. В точке C действует нагрузка 2 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 2 kNAB = 2 mвысота C = 2,4 mвысота DE = 1 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,5 m. В точке C действует горизонтальная сила 4 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 4 kNAB = 2,4 mвысота C = 3 mвысота DE = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите изгибающий момент M_x под силой P₁. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 7 mP₁ = 60 kN в 4 mP₂ = 75 kN в 7 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 10 kN в 2 mw = 12 kN/m от 0 до 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 300 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 140 mm. Толщина основания и полок 12 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 300 mmh = 140 mmt = 12 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 99,34 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 2·(−4) + 5·(−2) + (−3)·(−4) = −6

Модули

|a| = √(2² + 5² + (−3)²) = 6,164

|b| = √((−4)² + (−2)² + (−4)²) = 6

Угол

cos θ = −6/(6,164·6) = −0,1622

θ = arccos(−0,1622) = 99,34°

Ответ

θ = 99,34°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 7

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·1 − (−2)·(−3) = −7

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·3 − 5·1 = −11

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−3) − (−1)·3 = −12

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 4·(−7) + (−1)·(−11) + (−2)·(−12) = 7

V = |7| = 7

Ответ

V = 7

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 32,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2 + 20·7

R_B = 220/8 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 27,5 = 32,5 kN

Ответ

R_A = 32,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 17,9 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, приложена в x̄ = 0,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 8·1·0,5

R_B = 179/10 = 17,9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 17,9 = 15,1 kN

Ответ

R_B = 17,9 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 21,09 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·5 → C_y = 28,13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 28,13 = 16,88 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28,13/0,8 = −35,16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−35,16)·0,6 = 21,09 kN

Ответ

F_AC = 21,09 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 1,25 kN (T), BC: 1,25 kN (T), CD: 27,08 kN (T), DE: 27,08 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 32,81 kN (C), HE: 33,85 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 32,81 kN (T), HC: 0,5208 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 1,229 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 1 kN

T = 1·1/1,4 = 0,7143 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 0,7143 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Модуль

C = √(0,7143² + 1²) = 1,229 kN

Ответ

C = 1,229 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 4 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·2,4 = 4·3

B_y = 5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

5·1,2 = T·1,5

T = 4 kN

Ответ

T = 4 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 30 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4 + 75·7

R_B = 765/6 = 127,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 127,5 = 7,5 kN

Сечение под P₁, оставляем левую часть

M_x = R_A·4 = 7,5·4 = 30 kN·m

Ответ

M_x = 30 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 13 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 12·4·2

R_B = 116/4 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 29 = 29 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 29·3,5 − 10·(3,5 − 2) − 12·3,5·1,75 = 13 kN·m

Ответ

M_x = 13 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 38,23 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

две полки: A₂ = 2·12·128 = 3072 mm², y₂ = 12 + 128/2 = 76 mm

Центр тяжести

ȳ = (3600·6 + 3072·76)/6672 = 38,23 mm

Ответ

ȳ = 38,23 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 171,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312,5 mm

стенка: A_w = 8·300 = 2400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·312,5 + 2400·150)/6900 = 256 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·25³/12 + 4500·(312,5 − 256)² = 1,461 × 10⁷ mm⁴

стенка: 8·300³/12 + 2400·(150 − 256)² = 4,496 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,461 × 10⁷ + 4,496 × 10⁷ = 5,957 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 256 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·256/5,957 × 10⁷ = 171,9 MPa

Ответ

σ_низ = 171,9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Статика: шпаргалка-пакет

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Метод

Опорные реакции балок

Метод

Ферма: метод вырезания узлов

Метод

Рамы и механизмы

Метод

Поперечная сила и изгибающий момент

Метод

Центр тяжести и момент инерции

2Тренировочные задачи

3Растворы

Скалярное произведение

Модули

Угол

Ответ

Векторное произведение b × c

Скалярное произведение с a

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Расчётная схема

Равновесие

Ответ

Опорные реакции

Узел C

Ответ

Узел B

Проверка методом вырезания узлов

Ответ

Сила в затяжке из ножки BC

Составляющие силы в шарнире на BC

Модуль

Ответ

Вся рама: моменты относительно A

Ножка BC: моменты относительно C

Ответ

Опорные реакции

Сечение под P1, оставляем левую часть

Ответ

Опорные реакции

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Ответ

Разбиваем на прямоугольники

Центр тяжести

Ответ

Разбейте на два прямоугольника

Центр тяжести

Теорема о параллельном переносе осей

Напряжение изгиба

Ответ

Сечение под P₁, оставляем левую часть