Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−1, 3, −7) и b = (−5, 2, −5).

a = (−1, 3, −7)b = (−5, 2, −5)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (20, −20, 10) N действует в точке A(−1, −4, −1). Координаты даны в метрах. Найдите x-компоненту M_x момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (20, −20, 10) NA(−1, −4, −1) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 6 mP₁ = 55 kN в 2,5 mP₂ = 30 kN в 3 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 12 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mw₀ = 12 kN/mP = 30 kN в 2 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

пролёт = 4 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 30 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN →

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,2 m над землёй. В точке C действует нагрузка 15 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 15 kNAB = 2,4 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1,2 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 6 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 5 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 5 kNAB = 6 mвысота C = 4 mвысота DE = 0,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 8,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 6 kN/m от 0 до 10 mx = 8,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP = 50 kN в 9 mw = 10 kN/m от 0 до 10 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 170 mm и толщиной 18 mm, полную высоту 460 mm и стенку толщиной 6 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 170 mmH = 460 mmt_f = 18 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = 46

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−1)·(−5) + 3·2 + (−7)·(−5) = 5 + 6 + 35 = 46

Ответ

a·b = 46

Положительное: угол между векторами меньше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_x = −60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−1, −4, −1) − (0, 0, 0) = (−1, −4, −1) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·10 − (−1)·(−20) = −60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·20 − (−1)·10 = −10 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−20) − (−4)·20 = 100 N·m

Искомая компонента

M_x = −60 N·m

Ответ

M_x = −60 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 37,92 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·2,5 + 30·3

R_B = 227,5/6 = 37,92 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 37,92 = 47,08 kN

Ответ

R_B = 37,92 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 204 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·12·6 = 36 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 36·4 + 30·2 = 204 kN·m

Ответ

M_A = 204 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 13,13 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,75/0,5547 = −15,77 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−15,77)·0,8321 = 13,13 kN

Ответ

F_AC = 13,13 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 17,5 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 + 25·2 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 35 = −5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Узел C

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0,8944 = −39,13 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−39,13)·0,4472 = 17,5 kN

Ответ

F_AC = 17,5 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 7,98 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 7,5 kN

T = 7,5·1,2/3,3 = 2,727 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 2,727 kN, C_y = −B_y = −7,5 kN

Модуль

C = √(2,727² + 7,5²) = 7,98 kN

Ответ

C = 7,98 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 3,125 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·6 = 5·4

B_y = 3,333 kN

Ножка BC: моменты относительно C

3,333·3 = T·3,2

T = 3,125 kN

Ответ

T = 3,125 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 38,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Рассеките в x = 8,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·8,5 − 6·8,5·4,25 = 38,25 kN·m

Ответ

M_x = 38,25 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 151,3 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·9 + 10·10·5

R_B = 950/10 = 95 kN

ΣF_y = 0: R_A = 150 − 95 = 55 kN

Где V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 55/10 = 5,5 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 55·5,5 − 10·5,5²/2 = 151,3 kN·m

Ответ

M_max = 151,3 kN·m

Он достигается при x = 5,5 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 337,2 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 460 − 2·18 = 424 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·460³ − 164·424³)/12

I_x = 3,372 × 10⁸ mm⁴ = 337,2 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 337,2 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 103,5 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стенка: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·210 + 2000·100)/4000 = 155 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(210 − 155)² = 6,117 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·200³/12 + 2000·(100 − 155)² = 1,272 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,117 × 10⁶ + 1,272 × 10⁷ = 1,883 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 220 − 155 = 65 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·65/1,883 × 10⁷ = 103,5 MPa

Ответ

σ_верх = 103,5 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics