Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (−7, −7, 7) и b = (4, 2, 3).

a = (−7, −7, 7)b = (4, 2, 3)

a·b =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(2, 2, 4), B(1, 2, −4) и C(1, −4, 1). Координаты даны в метрах.

A(2, 2, 4)B(1, 2, −4)C(1, −4, 1)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 9 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

L = 10 mP = 20 kN в 5 mM = 60 kN·m (по часовой стрелке) в 9 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от A и равномерно распределённой нагрузкой w от 4 m до свободного конца в точке 8 m. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 5 mAC = 8 mP = 35 kN в 4 mw = 3 kN/m от 4 до 8 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

F_BC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1,2 m над землёй. Вертикальная нагрузка 10 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,8 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 10 kNAB = 4 mвысота C = 2 mвысота DE = 1,2 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,8 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 2,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 2 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 2 kNW_b = 1,5 kNAB = 2,5 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 2 kN/m от 0 до 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 45 kN в 1,5 mw = 3 kN/m от 0 до 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 240 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 90 mm. Толщина основания и полок 14 mm. Найдите высоту ȳ центра тяжести над нижней кромкой.

b = 240 mmh = 90 mmt = 14 mm

ȳ = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 40 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 210 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 300 mmвырез: 40 × 30 mmцентр отверстия: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: a·b = −21

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Перемножьте соответствующие компоненты и сложите

a·b = (−7)·4 + (−7)·2 + 7·3 = (−28) + (−14) + 21 = −21

Ответ

a·b = −21

Отрицательное: угол между векторами больше 90°.

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 24,32 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (−1, 0, −8)

AC = C − A = (−1, −6, −3)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 0·(−3) − (−8)·(−6) = −48

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−8)·(−1) − (−1)·(−3) = 5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−1)·(−6) − 0·(−1) = 6

|AB × AC| = √((−48)² + 5² + 6²) = 48,63

Площадь треугольника

A = ½·48,63 = 24,32 m²

Ответ

A = 24,32 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 4 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 20·5 − 60 = 0

R_B = 160/10 = 16 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 20 − 16 = 4 kN

Ответ

R_A = 4 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 4,6 kN

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = (4 + 8)/2 = 6 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·4 + 12·6

R_B = 212/5 = 42,4 kN

R_A = 47 − 42,4 = 4,6 kN

Ответ

R_A = 4,6 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 40 kN (T), BC: 46,67 kN (T), CD: 46,67 kN (T), DE: 53,33 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 53,33 kN (C), AF: 50 kN (C), HE: 66,67 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 8,333 kN (C), DG: 8,333 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −10,02 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·4 − 30·3 → C_y = 8,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,333 = 26,67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −8,333/0,8321 = −10,02 kN

Ответ

F_BC = −10,02 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 5 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 10·0,8/4 = 2 kN

Ножка BC: моменты относительно C

2·2 = T·0,8

T = 5 kN

Ответ

T = 5 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 3,889 kN

Угол троса

BC = √(2,5² + 2,5²) = 3,536 m, sin β = 0,7071

Моменты относительно A

T·0,7071·2,5 = 2·2,5 + 1,5·1,25

T = 3,889 kN

Ответ

T = 3,889 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 8 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 6·4 − 2·4·2 = 8 kN·m

Ответ

M_x = 8 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 49,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 3·5·2,5

R_B = 105/5 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 21 = 39 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 39·2 − 45·(2 − 1,5) − 3·2·1 = 49,5 kN·m

Ответ

M_x = 49,5 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: ȳ = 24,45 mm

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 240·14 = 3360 mm², y₁ = 7 mm

две полки: A₂ = 2·14·76 = 2128 mm², y₂ = 14 + 76/2 = 52 mm

Центр тяжести

ȳ = (3360·7 + 2128·52)/5488 = 24,45 mm

Ответ

ȳ = 24,45 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·150 − 1200·210)/(30000 − 1200) = 147,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·300³/12 + 30000·2,5² = 225,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

40·30³/12 + 1200·62,5² = 4,777 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics