Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−2, −3, −1) и b = (−6, −6, −6) в градусах.

a = (−2, −3, −1)b = (−6, −6, −6)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (30, 40, −60) N действует в точке A(−1, −4, −4). Координаты даны в метрах. Найдите y-компоненту M_y момента силы относительно точка O(−3, 0, −3).

F = (30, 40, −60) NA(−1, −4, −4) mO(−3, 0, −3) m

M_y = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка (неподвижный шарнир в A, подвижная опора в B) нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, убывающей от 8 kN/m в A до нуля в B. Кроме того, на расстоянии 3 m от A действует сосредоточенная сила P. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 35 kN в 3 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 6 mP = 40 kN в 4,5 mw = 10 kN/m от 4 до 5 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 5 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,8 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 4 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 4 kNAD = 1 mAB = 2 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 0,75 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 4 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 4 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 4 kN/mP = 4 kNAD = 1,5 mAB = 3 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP = 25 kN в 2,5 mw = 4 kN/m от 0 до 5 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 22,21 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−2)·(−6) + (−3)·(−6) + (−1)·(−6) = 36

Модули

|a| = √((−2)² + (−3)² + (−1)²) = 3,742

|b| = √((−6)² + (−6)² + (−6)²) = 10,39

Угол

cos θ = 36/(3,742·10,39) = 0,9258

θ = arccos(0,9258) = 22,21°

Ответ

θ = 22,21°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_y = 90 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−1, −4, −4) − (−3, 0, −3) = (2, −4, −1) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−60) − (−1)·40 = 280 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·30 − 2·(−60) = 90 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·40 − (−4)·30 = 200 N·m

Искомая компонента

M_y = 90 N·m

Ответ

M_y = 90 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 43,21 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = L/3 = 2,667 m

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 32·2,667 + 35·3

R_B = 23,79 kN

R_A = 67 − 23,79 = 43,21 kN

Ответ

R_A = 43,21 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 12,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, приложена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4,5 + 10·1·4,5

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 37,5 = 12,5 kN

Ответ

R_A = 12,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 37,5 kN (C), HE: 12,5 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12,5 kN (T), DG: 12,5 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −36,08 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·1 − 5·4 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 5 = 35 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −35/0,9701 = −36,08 kN

Ответ

F_AB = −36,08 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 10,77 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 4·2/(0,6247·1) = 12,81 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 10 kN (к стене)

A_y = 4 − F_CD·sin α = −4 kN

Модуль

A = √(10² + −4²) = 10,77 kN

Ответ

A = 10,77 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 44,72 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 4·3 = 12 kN в 1,5 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,4472·1,5 = 12·1,5 + 4·3 = 30 kN·m

F_CD = 44,72 kN

Ответ

F_CD = 44,72 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 9 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·4,5 − 8·4,5·2,25 = 9 kN·m

Ответ

M_x = 9 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 43,75 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2,5 + 4·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Где V = 0?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 12,5 kN

V(2,5⁺) = 12,5 − 25 = −12,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 22,5·2,5 − 4·2,5²/2 = 43,75 kN·m

Ответ

M_max = 43,75 kN·m

Он достигается при x = 2,5 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 5,385 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

стенка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·110 + 1400·50)/7000 = 98 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·20³/12 + 5600·(110 − 98)² = 993067 mm⁴

стенка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 98)² = 4,392 × 10⁶ mm⁴

I_x = 993067 + 4,392 × 10⁶ = 5,385 × 10⁶ mm⁴ = 5,385 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 5,385 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 57,53 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

стенка: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·285 + 4480·140)/7280 = 195,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(285 − 195,8)² = 2,232 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·280³/12 + 4480·(140 − 195,8)² = 4,32 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,232 × 10⁷ + 4,32 × 10⁷ = 6,552 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 290 − 195,8 = 94,23 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·94,23/6,552 × 10⁷ = 57,53 MPa

Ответ

σ_верх = 57,53 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics