Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (6, −5, 2) и b = (1, 5, 3) в градусах.

a = (6, −5, 2)b = (1, 5, 3)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (0, 20, 40) N действует в точке A(4, 4, −1). Координаты даны в метрах. Найдите z-компоненту M_z момента силы относительно точка O(1, 2, 1).

F = (0, 20, 40) NA(4, 4, −1) mO(1, 2, 1) m

M_z = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP₁ = 45 kN в 6 mP₂ = 25 kN в 9 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 7 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции R_A в шарнире A.

L = 8 mP = 30 kN в 5 m, θ = 45°Q = 10 kN в 7 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 20 kN ↓H: 35 kN ↓H: 30 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 3,6 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1 m над землёй. Вертикальная нагрузка 15 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,6 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 15 kNAB = 2,4 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,6 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 15 kNW_b = 1,5 kNAB = 2 mAC = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 55 kN в 1 mw = 3 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 150 mm и внутренний диаметр d = 134 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 150 mmd = 134 mm

r = mm

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 105,8 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 6·1 + (−5)·5 + 2·3 = −13

Модули

|a| = √(6² + (−5)² + 2²) = 8,062

|b| = √(1² + 5² + 3²) = 5,916

Угол

cos θ = −13/(8,062·5,916) = −0,2726

θ = arccos(−0,2726) = 105,8°

Ответ

θ = 105,8°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_z = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (4, 4, −1) − (1, 2, 1) = (3, 2, −2) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·40 − (−2)·20 = 120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·0 − 3·40 = −120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·20 − 2·0 = 60 N·m

Искомая компонента

M_z = 60 N·m

Ответ

M_z = 60 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 20,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·6 + 25·9

R_B = 495/10 = 49,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 49,5 = 20,5 kN

Ответ

R_A = 20,5 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 23,12 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 30·sin 45° = 21,21 kN

P_h = 30·cos 45° = 21,21 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·8 = 21,21·5 + 10·7 → R_B = 22,01 kN

A_y = 21,21 + 10 − 22,01 = 9,205 kN

A_x = P_h = 21,21 kN

Равнодействующая реакция в A

R_A = √(21,21² + 9,205²) = 23,12 kN

Ответ

R_A = 23,12 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −12,5 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·1 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 10 = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,8 = −12,5 kN

Ответ

F_BC = −12,5 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 22,98 kN (T), HC: 5,303 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,731 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 15·0,6/2,4 = 3,75 kN

Ножка BC: моменты относительно C

3,75·1,2 = T·2,6

T = 1,731 kN

Ответ

T = 1,731 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 26,25 kN

Угол троса

BC = √(2² + 1,5²) = 2,5 m, sin β = 0,6

Моменты относительно A

T·0,6·2 = 15·2 + 1,5·1

T = 26,25 kN

Ответ

T = 26,25 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 21 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 1,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·1,5 − 8·1,5·0,75 = 21 kN·m

Ответ

M_x = 21 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 26,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 3·4·2

R_B = 79/4 = 19,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 19,75 = 47,25 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 47,25·2,5 − 55·(2,5 − 1) − 3·2,5·1,25 = 26,25 kN·m

Ответ

M_x = 26,25 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 50,28 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 3569 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9,024 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(9,024 × 10⁶/3569) = 50,28 mm

Ответ

r = 50,28 mm

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 73,18 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

стенка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·185 + 3600·90)/6400 = 131,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(185 − 131,6)² = 8,019 × 10⁶ mm⁴

стенка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 131,6)² = 1,594 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,019 × 10⁶ + 1,594 × 10⁷ = 2,396 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 190 − 131,6 = 58,44 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·58,44/2,396 × 10⁷ = 73,18 MPa

Ответ

σ_верх = 73,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics