Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−3, 4, 4) и b = (1, 5, −5) в градусах.

a = (−3, 4, 4)b = (1, 5, −5)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(3, −4, 3), B(−3, 2, −3) и C(3, 4, 2). Координаты даны в метрах.

A(3, −4, 3)B(−3, 2, −3)C(3, 4, 2)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w от стены до 4 m и сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 6 mP = 60 kN в 2 mw = 3 kN/m от 0 до 4 m

M_A = kN·m

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой интенсивностью 6 kN/m у стены, убывающей до нуля на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 5 mw₀ = 6 kN/mP = 50 kN в 3 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 3 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m над землёй и на 1,35 m правее A. Вертикальная нагрузка 4 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,81 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 4 kNL = 3 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 1,35 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,81 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 6 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m и на 2,7 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 4 kN в точке K на расстоянии 0,675 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 4 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 4 kNQ = 4 kNL = 6 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 2,7 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,675 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 35 kN в 2,5 mw = 6 kN/m от 0 до 5 m

M_A = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 0 m15 kN @ 12 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 150 mm × 300 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 30 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 300 mmвырез: 60 × 30 mmцентр отверстия: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 93,76 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−3)·1 + 4·5 + 4·(−5) = −3

Модули

|a| = √((−3)² + 4² + 4²) = 6,403

|b| = √(1² + 5² + (−5)²) = 7,141

Угол

cos θ = −3/(6,403·7,141) = −0,06561

θ = arccos(−0,06561) = 93,76°

Ответ

θ = 93,76°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 32,03 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (−6, 6, −6)

AC = C − A = (0, 8, −1)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 6·(−1) − (−6)·8 = 42

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−6)·0 − (−6)·(−1) = −6

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−6)·8 − 6·0 = −48

|AB × AC| = √(42² + (−6)² + (−48)²) = 64,06

Площадь треугольника

A = ½·64,06 = 32,03 m²

Ответ

A = 32,03 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 144 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 60·2 + 12·2 = 144 kN·m

Ответ

M_A = 144 kN·m

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 175 kN·m

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 15·1,667 + 50·3 = 175 kN·m

Ответ

M_A = 175 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −7,454 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 → C_y = 6,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6,667 = 3,333 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,667/0,8944 = −7,454 kN

Ответ

F_BC = −7,454 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 65 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 61,67 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 90 kN (C), GH: 90 kN (C), AF: 31,25 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 31,25 kN (T), HC: 35,42 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 1,294 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(1,65² + 2,5²) = 2,995 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2,5/2,995)·3 = 4·0,81

F_BC = 1,294 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 1,294 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 1,206 kN

Направление BC

BC = 4,14 m, cos = 0,7971, sin = 0,6039

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,6039·6 = 4·0,675 + 4·2,5

F_BC = 3,505 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 4 − 3,505·0,7971 = 0

A_x = −1,206 kN → |A_x| = 1,206 kN

Ответ

A_x = 1,206 kN

Знак минус означает, что A_x направлена влево.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −162,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −35·2,5 = −87,5 kN·m

w: −6·5²/2 = −75 kN·m

M_A = −87,5 − 75 = −162,5 kN·m

Ответ

M_A = −162,5 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 82,75 kN, R₂ = 30,25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −46,5, M_D = −17, M_E = −11,5, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −100 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 14,6 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

стенка: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·175 + 1600·80)/6400 = 151,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 160·30³/12 + 4800·(175 − 151,3)² = 3,067 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·160³/12 + 1600·(80 − 151,3)² = 1,154 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,067 × 10⁶ + 1,154 × 10⁷ = 1,46 × 10⁷ mm⁴ = 14,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 14,6 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 330,6 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (45000·150 − 1800·90)/(45000 − 1800) = 152,5 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·300³/12 + 45000·−2,5² = 337,8 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·30³/12 + 1800·−62,5² = 7,166 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 330,6 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 330,6 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics