Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите значение k, при котором векторы a = (−2, −2, −3) и b = (k, 0, −3) перпендикулярны.

a = (−2, −2, −3)b = (k, 0, −3)

k =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−40, −10, 50) N действует в точке A(−1, 4, −1). Координаты даны в метрах. Найдите x-компоненту M_x момента силы относительно точка O(−1, −3, 2).

F = (−40, −10, 50) NA(−1, 4, −1) mO(−1, −3, 2) m

M_x = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 4,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 2,5 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 6 mP = 65 kN в 4,5 mM = 25 kN·m (против часовой стрелки) в 2,5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 1,5 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 4,5 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 5 mP = 25 kN в 1,5 m, θ = 45°Q = 55 kN в 4,5 m

α = °

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 2 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN →

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 3 m друг от друга, а B находится на высоте 3 m над землёй и на 0,9 m правее A. Вертикальная нагрузка 5 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,54 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 5 kNL = 3 mH = 3 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,9 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,54 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 0,5 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 2,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 15 kNW_b = 0,5 kNAB = 3 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 6 m8 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 8 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 40 kN в 4 mw = 10 kN/m от 0 до 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 110 mm и толщиной 12 mm, полную высоту 280 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 80 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 110 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: k = 4,5

Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ — скаляр. Оно позволяет найти угол между двумя векторами, cos θ = a·b/(|a|·|b|), и равно нулю, когда векторы перпендикулярны. Скалярная проекция a на b равна a·b/|b|, а постоянная сила F, перемещающая тело на d, совершает работу W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = (−2)·k + (−2)·0 + (−3)·(−3) = 0

9 + (−2)·k = 0

Найдите k

k = −9/(−2) = 4,5

Ответ

k = 4,5

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_x = 320 N·m

Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) перпендикулярно обоим векторам, а |a × b| = |a|·|b|·sin θ — площадь параллелограмма, построенного на них (площадь треугольника вдвое меньше). Порядок важен: b × a = −(a × b). Момент силы F, приложенной в точке A, относительно точки O равен M_O = r × F, где r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−1, 4, −1) − (−1, −3, 2) = (0, 7, −3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 7·50 − (−3)·(−10) = 320 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·(−40) − 0·50 = 120 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·(−10) − 7·(−40) = 280 N·m

Искомая компонента

M_x = 320 N·m

Ответ

M_x = 320 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 44,58 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 65·4,5 + 25 = 0

R_B = 267,5/6 = 44,58 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 − 44,58 = 20,42 kN

Ответ

R_B = 44,58 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: α = 45,32 °

Составляющие P

P_v = 25·sin 45° = 17,68 kN

P_h = 25·cos 45° = 17,68 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·5 = 17,68·1,5 + 55·4,5 → R_B = 54,8 kN

A_y = 17,68 + 55 − 54,8 = 17,87 kN

A_x = P_h = 17,68 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(17,87/17,68) = 45,32°

Ответ

α = 45,32°

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −49,19 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·4 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 44 = 11 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44/0,8944 = −49,19 kN

Ответ

F_BC = −49,19 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = 3,953 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 30·3 → C_y = 28,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 28,75 = −3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−3,75/0,9487 = 3,953 kN

Ответ

F_AB = 3,953 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 1,099 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(2,1² + 3²) = 3,662 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(3/3,662)·3 = 5·0,54

F_BC = 1,099 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 1,099 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 23,82 kN

Угол троса

BC = √(3² + 2,5²) = 3,905 m, sin β = 0,6402

Моменты относительно A

T·0,6402·3 = 15·3 + 0,5·1,5

T = 23,82 kN

Ответ

T = 23,82 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 41,33 kN, R₂ = 62,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 82,67, M_C = 165,3, M_D = 232 kN·m, M_E = 186,7, M_F = 109,3, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 232 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 112 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·4 + 10·10·5

R_B = 660/10 = 66 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 66 = 74 kN

Рассеките в x = 8 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 74·8 − 40·(8 − 4) − 10·8·4 = 112 kN·m

Ответ

M_x = 112 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 6,193 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

стенка: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·125 + 2160·60)/3560 = 85,56 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·10³/12 + 1400·(125 − 85,56)² = 2,189 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·120³/12 + 2160·(60 − 85,56)² = 4,003 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,189 × 10⁶ + 4,003 × 10⁶ = 6,193 × 10⁶ mm⁴ = 6,193 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 6,193 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 191,1 MPa

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·280³ − 102·256³)/12

I_x = 5,862 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 140 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·140/5,862 × 10⁷ = 191,1 MPa

Ответ

σ_max = 191,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics