Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−1, 3, 4) и b = (−2, 1, 4) в градусах.

a = (−1, 3, 4)b = (−2, 1, 4)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−3, 5, 2), b = (−5, −5, 4) и c = (1, −5, 5).

a = (−3, 5, 2)b = (−5, −5, 4)c = (1, −5, 5)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 0,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным против часовой стрелки, на расстоянии 1 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 6 mP = 65 kN в 0,5 mM = 60 kN·m (против часовой стрелки) в 1 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP = 35 kN в 3 mw = 8 kN/m от 4 до 7 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

C: 30 kN ↓D: 15 kN ↓G: 25 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN ↓H: 40 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,6 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 10 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 10 kNAD = 0,8 mAB = 2,5 mAC = 0,6 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 3,6 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 1,5 m. В точке C действует горизонтальная сила 5 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 5 kNAB = 2 mвысота C = 3,6 mвысота DE = 1,5 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 1 m50 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

10 kN @ 12 m40 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 100 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 260 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 100 mmH = 260 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 26,01 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−1)·(−2) + 3·1 + 4·4 = 21

Модули

|a| = √((−1)² + 3² + 4²) = 5,099

|b| = √((−2)² + 1² + 4²) = 4,583

Угол

cos θ = 21/(5,099·4,583) = 0,8987

θ = arccos(0,8987) = 26,01°

Ответ

θ = 26,01°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 220

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·5 − 4·(−5) = −5

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·1 − (−5)·5 = 29

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−5)·(−5) − (−5)·1 = 30

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−3)·(−5) + 5·29 + 2·30 = 220

V = |220| = 220

Ответ

V = 220

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = −4,583 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 65·0,5 + 60 = 0

R_B = −27,5/6 = −4,583 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 − (−4,583) = 69,58 kN

Ответ

R_B = −4,583 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 29,38 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, приложена в x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·3 + 8·3·5,5

R_B = 237/8 = 29,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 29,63 = 29,38 kN

Ответ

R_A = 29,38 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 31,25 kN (T), BC: 31,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 62,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 44,19 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 44,19 kN (T), HC: 33,59 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел G

FG и GH лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 32,5 kN (T), DE: 32,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 95,46 kN (C), HE: 45,96 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 24,75 kN (T), HC: 17,68 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 46,77 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 10·2,5/(0,6·0,8) = 52,08 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 41,67 kN (к стене)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −21,25 kN

Модуль

A = √(41,67² + −21,25²) = 46,77 kN

Ответ

A = 46,77 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 4,286 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·2 = 5·3,6

B_y = 9 kN

Ножка BC: моменты относительно C

9·1 = T·2,1

T = 4,286 kN

Ответ

T = 4,286 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 4 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 29,17 kN, R₂ = 35,83 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 43,33, M_D = 57,5, M_E = 71,67 kN·m, M_F = 35,83, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 71,67 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 14 kN, R₂ = 36 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 28, M_C = 56, M_D = 84 kN·m, M_E = 32, M_F = −20, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 84 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 50,73 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 260 − 2·14 = 232 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·260³ − 92·232³)/12

I_x = 5,073 × 10⁷ mm⁴ = 50,73 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 50,73 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 134,1 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

стенка: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·252,5 + 4320·120)/7320 = 174,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·25³/12 + 3000·(252,5 − 174,3)² = 1,85 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·240³/12 + 4320·(120 − 174,3)² = 3,348 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,85 × 10⁷ + 3,348 × 10⁷ = 5,198 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 174,3 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·174,3/5,198 × 10⁷ = 134,1 MPa

Ответ

σ_низ = 134,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics