Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−4, −2, −5) и b = (5, −1, −5) в градусах.

a = (−4, −2, −5)b = (5, −1, −5)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (3, 2, −6) и b = (−5, −2, 2) найдите y-компоненту (a × b)_y векторного произведения a × b.

a = (3, 2, −6)b = (−5, −2, 2)

(a × b)_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 8 mP₁ = 35 kN в 4 mP₂ = 15 kN в 6 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 4 mP = 15 kN в 2,5 mw = 5 kN/m от 1 до 2 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 40 kN ↓C: 35 kN ↓G: 20 kN ↓H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 3 mB на расстоянии 4 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 5 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m над землёй и на 0,75 m правее A. Вертикальная нагрузка 12 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,3 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 12 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,75 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,3 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3,2 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 2,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 0,8 m над землёй. Вертикальная нагрузка 8 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,8 m (по горизонтали) от A. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 8 kNAB = 3,2 mвысота C = 2,5 mвысота DE = 0,8 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,8 m

C = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

30 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 6,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 15 kN в 1 mw = 8 kN/m от 0 до 8 mx = 6,5 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 81,6 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−4)·5 + (−2)·(−1) + (−5)·(−5) = 7

Модули

|a| = √((−4)² + (−2)² + (−5)²) = 6,708

|b| = √(5² + (−1)² + (−5)²) = 7,141

Угол

cos θ = 7/(6,708·7,141) = 0,1461

θ = arccos(0,1461) = 81,6°

Ответ

θ = 81,6°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_y = 24

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·2 − (−6)·(−2) = −8

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·(−5) − 3·2 = 24

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−2) − 2·(−5) = 4

Искомая компонента

(a × b)_y = 24

Ответ

(a × b)_y = 24

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 28,75 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 15·6

R_B = 230/8 = 28,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 28,75 = 21,25 kN

Ответ

R_B = 28,75 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 8,75 kN

Расчётная схема

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, приложена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2,5 + 5·1·1,5

R_B = 45/4 = 11,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 11,25 = 8,75 kN

Ответ

R_A = 8,75 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент DH

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел D

CD и DE лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 60 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 45 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 63,64 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 20 kN (C), DH: 0, FC: 28,28 kN (T), HC: 49,5 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: DH

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −34,72 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·4 − 15·3 → C_y = 19,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 19,17 = 20,83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20,83/0,6 = −34,72 kN

Ответ

F_AB = −34,72 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 1,691 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(4,25² + 2²) = 4,697 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2/4,697)·5 = 12·0,3

F_BC = 1,691 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 1,691 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: C = 2,746 kN

Опорная реакция в B

B_y = 8·0,8/3,2 = 2 kN

Сила в затяжке

T = 2·1,6/1,7 = 1,882 kN

Сила в шарнире на BC

C_x = 1,882 kN, C_y = −2 kN

C = √(1,882² + 2²) = 2,746 kN

Ответ

C = 2,746 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 30 kN, R₂ = 30 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 27,5, M_C = 50, M_D = 67,5 kN·m, M_E = 50, M_F = 27,5, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 67,5 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 41,81 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·1 + 8·8·4

R_B = 271/8 = 33,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 79 − 33,88 = 45,13 kN

Рассеките в x = 6,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 45,13·6,5 − 15·(6,5 − 1) − 8·6,5·3,25 = 41,81 kN·m

Ответ

M_x = 41,81 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 27,62 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

стенка: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·210 + 3600·100)/5600 = 139,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(210 − 139,3)² = 1,007 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·200³/12 + 3600·(100 − 139,3)² = 1,756 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,007 × 10⁷ + 1,756 × 10⁷ = 2,762 × 10⁷ mm⁴ = 27,62 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 27,62 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 174,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

стенка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·105 + 1400·50)/3600 = 83,61 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·10³/12 + 2200·(105 − 83,61)² = 1,025 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 83,61)² = 2,748 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,025 × 10⁶ + 2,748 × 10⁶ = 3,773 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 110 − 83,61 = 26,39 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·26,39/3,773 × 10⁶ = 174,9 MPa

Ответ

σ_верх = 174,9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics