Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (−5, −6, −1) и b = (−5, −2, 2) в градусах.

a = (−5, −6, −1)b = (−5, −2, 2)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Для a = (1, −3, 0) и b = (−5, 5, 2) найдите y-компоненту (a × b)_y векторного произведения a × b.

a = (1, −3, 0)b = (−5, 5, 2)

(a × b)_y =

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w от стены до 4 m и сосредоточенной силой P на расстоянии 4 m от стены. Найдите вертикальную реакцию R_A в заделке.

L = 8 mP = 50 kN в 4 mw = 8 kN/m от 0 до 4 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_B.

L = 10 mP = 25 kN в 3 mw = 10 kN/m от 0 до 8 m

R_B = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_BC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 8 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 10 kN

F_BC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 10 kN →

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 5 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m над землёй и на 1,5 m правее A. Вертикальная нагрузка 6 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,9 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 6 kNL = 5 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 1,5 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,9 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 2,4 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 4 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 2 m. В точке C действует горизонтальная сила 5 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 5 kNAB = 2,4 mвысота C = 4 mвысота DE = 2 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 60 kN в 2,5 mw = 3 kN/m от 0 до 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 7 mw = 2 kN/m от 0 до 7 mопоры при x = 0 и x = 6 m

x_c = m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 100 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 39,31 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−5)·(−5) + (−6)·(−2) + (−1)·2 = 35

Модули

|a| = √((−5)² + (−6)² + (−1)²) = 7,874

|b| = √((−5)² + (−2)² + 2²) = 5,745

Угол

cos θ = 35/(7,874·5,745) = 0,7738

θ = arccos(0,7738) = 39,31°

Ответ

θ = 39,31°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: (a × b)_y = −2

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение по компонентам

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·2 − 0·5 = −6

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·(−5) − 1·2 = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·5 − (−3)·(−5) = −10

Искомая компонента

(a × b)_y = −2

Ответ

(a × b)_y = −2

Проверка: a × b перпендикулярно обоим векторам, поэтому его скалярные произведения с a и с b равны нулю.

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 82 kN

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 8·4 = 32 kN, x̄ = 2 m

Равновесие по вертикали

R_A = P + W = 50 + 32 = 82 kN

Ответ

R_A = 82 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 39,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·3 + 10·8·4

R_B = 395/10 = 39,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 39,5 = 65,5 kN

Ответ

R_B = 39,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_BC = −6,003 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·3 → C_y = 3,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 3,75 = 6,25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,75/0,6247 = −6,003 kN

Ответ

F_BC = −6,003 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 13,75 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 + 10·3 → C_y = 41,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 41,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Узел C

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41,25/0,9487 = −43,48 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−43,48)·0,3162 = 13,75 kN

Ответ

F_AC = 13,75 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 2,177 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(3,5² + 2²) = 4,031 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2/4,031)·5 = 6·0,9

F_BC = 2,177 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 2,177 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 5 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·2,4 = 5·4

B_y = 8,333 kN

Ножка BC: моменты относительно C

8,333·1,2 = T·2

T = 5 kN

Ответ

T = 5 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −96 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·1,5 = −90 kN·m

w: −3·2²/2 = −6 kN·m

M_x = −90 − 6 = −96 kN·m

Ответ

M_x = −96 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 5,833 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, приложена в x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·7·3,5

R_B = 49/6 = 8,167 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 8,167 = 5,833 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·5,833/2 = 5,833 m

Ответ

x_c = 5,833 m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 217,1 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·150 − 1963·90)/(30000 − 1963) = 154,2 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·300³/12 + 30000·−4,202² = 225,5 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−64,2² = 8,4 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 217,1 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 217,1 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 69,02 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

стенка: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·250 + 1920·120)/4720 = 197,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·20³/12 + 2800·(250 − 197,1)² = 7,923 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·240³/12 + 1920·(120 − 197,1)² = 2,063 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,923 × 10⁶ + 2,063 × 10⁷ = 2,856 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 197,1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·197,1/2,856 × 10⁷ = 69,02 MPa

Ответ

σ_низ = 69,02 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics