Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (6, 0, −4) на b = (0, −2, −4), то есть компоненту a в направлении b.

a = (6, 0, −4)b = (0, −2, −4)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (−4, 2, 4), b = (−3, 4, −3) и c = (−1, −4, 1).

a = (−4, 2, 4)b = (−3, 4, −3)c = (−1, −4, 1)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 4 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

AB = 4 mAC = 5 mP₁ = 10 kN в 1 mP₂ = 65 kN в 5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Составная балка защемлена в стене в точке A, имеет промежуточный шарнир в C (на расстоянии 3 m от A) и опирается на подвижную опору в D (на расстоянии 8 m от A). Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от A, равномерно распределённой нагрузкой w по всему участку CD и сосредоточенной силой Q на расстоянии 2 m от A. Найдите реакцию R_D подвижной опоры.

AC = 3 mAD = 8 mP = 30 kN в 7 mw = 5 kN/m от 3 до 8 mQ = 25 kN в 2 m

R_D = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 30 kN ↓G: 20 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент FC
13элемент HC

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

D: 40 kN ↓F: 15 kN →H: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 4 m друг от друга, а B находится на высоте 2,5 m над землёй и на 1,2 m правее A. Вертикальная нагрузка 6 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,48 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 6 kNL = 4 mH = 2,5 mгоризонтальное расстояние от A до B = 1,2 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,48 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Коленно-рычажный пресс имеет два равных звена AB и BC длиной 200 mm между шарнирами каждое. Шарнир B находится на 20 mm выше прямой AC. Какая направленная вниз сила F в точке B создаёт горизонтальную силу прессования 3000 N на ползуне C? Трением и весом пренебрегите.

Q = 3000 NAB = BC = 200 mmh = 20 mm

F = N

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mP = 55 kN в 5 mw = 6 kN/m от 0 до 8 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 3,578

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 6·0 + 0·(−2) + (−4)·(−4) = 16

Длина b

|b| = √(0² + (−2)² + (−4)²) = 4,472

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 16/4,472 = 3,578

Ответ

comp_b a = 3,578

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 108

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 4·1 − (−3)·(−4) = −8

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·(−1) − (−3)·1 = 6

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·(−4) − 4·(−1) = 16

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = (−4)·(−8) + 2·6 + 4·16 = 108

V = |108| = 108

Ответ

V = 108

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 83,75 kN

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1 + 65·5

R_B = 335/4 = 83,75 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 10 + 65 − 83,75 = −8,75 kN

Ответ

R_B = 83,75 kN

R_A отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_D = 36,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию. Промежуточный шарнир не может передавать изгибающий момент, что даёт одно дополнительное уравнение: момент относительно шарнира сил, действующих с любой его стороны, равен нулю.

Часть CD

В шарнире момента нет, поэтому моменты относительно C для одной только части CD должны уравновешиваться.

W = 5·5 = 25 kN в 2,5 m от C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 30·4 + 25·2,5

R_D = 36,5 kN

V_C = 55 − 36,5 = 18,5 kN

Ответ

R_D = 36,5 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент BF

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел B

AB и BC лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 13,13 kN (T), BC: 13,13 kN (T), CD: 24,37 kN (T), DE: 24,37 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 26,25 kN (C), AF: 21,88 kN (C), HE: 40,63 kN (C), BF: 0, CG: 20 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 21,88 kN (T), HC: 3,125 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: BF

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 20,63 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 26,25 kN (T), DE: 31,87 kN (T), FG: 20,63 kN (C), GH: 31,87 kN (C), AF: 9,375 kN (C), HE: 53,13 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 32,5 kN (T), BG: 9,375 kN (C), DG: 9,375 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 1,081 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(2,8² + 2,5²) = 3,754 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2,5/3,754)·4 = 6·0,48

F_BC = 1,081 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 1,081 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F = 603 N

Механизмы: плоскогубцы, рычаги, шарнирные системы и зажимы преобразуют входную силу в большую или иначе направленную выходную. Нарисуйте одну часть как свободное тело и возьмите моменты относительно её оси: сила в шарнире выпадает, а F_in·a = F_out·b даёт выигрыш в силе a/b. Сила в шарнире затем следует из ΣF = 0 для той же части. В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ; каждое звено — двухсиловой элемент, поэтому малая сила F в узле создаёт большие силы в звеньях F/(2 sin θ) и зажимную силу F/(2 tan θ).

Угол звена

sin θ = 20/200 = 0,1, θ = 5,739°

Сила в звене

F_link = Q/cos θ = 3015 N

Сила в B

F = 2·F_link·sin θ = 2·3000·tan θ = 603 N

Ответ

F = 603 N

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 42 kN, R₂ = 27 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 76 kN·m, M_D = 63, M_E = 46, M_F = 25, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 76 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 148,1 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 6·8·4

R_B = 467/8 = 58,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 58,38 = 44,63 kN

Где V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 14,63 kN

V(5⁺) = 14,63 − 55 = −40,38 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 44,63·5 − 6·5²/2 = 148,1 kN·m

Ответ

M_max = 148,1 kN·m

Он достигается при x = 5 m от A.

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

стенка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·105 + 1400·50)/3200 = 80,94 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·10³/12 + 1800·(105 − 80,94)² = 1,057 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 80,94)² = 2,507 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,057 × 10⁶ + 2,507 × 10⁶ = 3,564 × 10⁶ mm⁴ = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 3,564 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 120,2 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

стенка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·167,5 + 2880·80)/4380 = 110 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·15³/12 + 1500·(167,5 − 110)² = 4,993 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 110)² = 8,73 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,993 × 10⁶ + 8,73 × 10⁶ = 1,372 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 110 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·110/1,372 × 10⁷ = 120,2 MPa

Ответ

σ_низ = 120,2 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics