Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 14, 26, 15, 13, 11, 46, 12.

n = 7

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 152.

μ = 170σ = 12x = 152

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,2, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 9p = 0,2k = 5

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9693. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9693

z =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 10% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 61,5 h, известное стандартное отклонение 3 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 61 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 61,5 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 61 hσ₂ = 6 h99%

нижняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 8. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 8E = 2,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 20. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 83,2. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 20n = 64x̄ = 83,2H₁: μ > μ₀

p =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 44 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 138 из 200 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 44n₁ = 80x₂ = 138n₂ = 200

z =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 97?

n = 6ŷ = 97

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 12,69

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 137/7 = 19,57

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,571)² + 6,429² + (−4,571)² + (−6,571)² + (−8,571)² + 26,43² + (−7,571)² = 965,7

Стандартное отклонение

s = √(965,7/6) = 12,69

Ответ

s = 12,69

2.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (152 − 170)/12 = −1,5

Ответ

z = −1,5

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 124

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,2 + 30·0,3 + 40·0,2 = 24

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,2 + 900·0,3 + 1600·0,2 = 700

Дисперсия

Var(X) = 700 − 24² = 124

Ответ

Var(X) = 124

4.Вероятность

Ответ: P = 0,01652

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 126·0,2⁵·0,8⁴ = 126·0,00032·0,4096 = 0,01652

Ответ

P = 0,01652

5.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,87

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9693 = 0,0307

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0307 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,87

Ответ

z = −1,87

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 187 cm

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Ответ

x = 187 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −2,177 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 61,5 − 61 = 0,5

Стандартная ошибка

SE = √(3²/50 + 6²/40) = 1,039

Предельная ошибка

E = 2,576·1,039 = 2,677

Интервал

0,5 ± 2,677 → [−2,177, 3,177]

Ответ

нижняя граница = −2,177 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 68

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·8/2,5)² = 67,95

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 68

Ответ

n = 68

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,1003

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 20/√64 = 2,5

z = (83,2 − 80)/2,5 = 1,28

Площадь хвоста

Φ(1,28) = 0,8997

1 − Φ(1,28) = 0,1003

p-значение

p = 0,1003

Ответ

p = 0,1003

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,219

Выборочные доли

p̂₁ = 44/80 = 0,55

p̂₂ = 138/200 = 0,69

p̂ = 182/280 = 0,65

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,65·0,35·(1/80 + 1/200)) = 0,0631

Статистика критерия

z = (0,55 − 0,69)/0,0631 = −2,219

Ответ

z = −2,219

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9047

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 245/5 = 49

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 214

Коэффициент детерминации

r² = 44²/(10·214) = 0,9047

Ответ

r² = 0,9047

Прямая объясняет около 90,47% вариации y.

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 23,72

Средние

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 576/6 = 96

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 720

Линия регрессии

b = 720/157,5 = 4,571

a = 96 − 4,571·23,5 = −11,43

ŷ = −11,43 + 4,571·x

Найдите x

x = (97 − (−11,43))/4,571 = 23,72

Ответ

x = 23,72

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1