Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Основы статистики: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
2Тренировочные задачи
1.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 60, 34, 26, 52.
n = 5
s =
2.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений меньше 45?
μ = 60σ = 15x = 45
P =
3.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,3
σ =
4.ВероятностьСложная
Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 8p = 0,6
P =
5.Нормальное распределениеСредняя
X нормальна со средним 120 mm и стандартным отклонением 0,3 mm; Y независима и нормальна со средним 80 mm и стандартным отклонением 0,4 mm. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 199,3 mm. Округлите z до двух знаков после запятой.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,3 mm
P =
6.Нормальное распределениеСложная
Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 20% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
7.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 11 элементов имеет среднее 114,5 и стандартное отклонение s = 14,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.
n = 11x̄ = 114,5s = 14,595%t(10) = 2,228
верхняя граница =
8.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 30 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 11,9 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 29 2,5 % распределения χ² лежит ниже 16,047 и 2,5 % — выше 45,722.
n = 30s = 11,9 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 25 студентов имеет средний балл 102,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,4s = 5n = 25
t =
10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 12. Найдите наименьший объём выборки n.
σ = 12E = 395%
n =
11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 5
r =
12.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 7.
n = 6x = 7
ŷ =
3Растворы
1.Описательная статистика
Ответ: s = 14,06
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 207/5 = 41,4
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−6,4)² + 18,6² + (−7,4)² + (−15,4)² + 10,6² = 791,2
Стандартное отклонение
s = √(791,2/4) = 14,06
Ответ
s = 14,06
2.Описательная статистика
Ответ: P = 0,1587
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1
Таблица нормального распределения
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Ответ
P = 0,1587
3.Вероятность
Ответ: σ = 11
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 10·0,2 + 20·0,2 + 30·0,3 + 40·0,3 = 27
Среднее квадратов
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,2 + 900·0,3 + 1600·0,3 = 850
Дисперсия
Var(X) = 850 − 27² = 121
σ = √121 = 11
Ответ
σ = 11
4.Вероятность
Ответ: P = 0,00852
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,48 = 0,0006554
P(X = 1) = 8·0,6·0,47 = 0,007864
Сложите
P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852
Ответ
P = 0,00852
5.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,9192
Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).
Распределение суммы
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Стандартизуйте
z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4
Верхний хвост
P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192
Ответ
P = 0,9192
6.Нормальное распределение
Ответ: x = 172,1 cm
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,2
z из таблицы
z ≈ −0,84
Возврат к исходным единицам
x = 178 − 0,84·7 = 172,1 cm
Ответ
x = 172,1 cm
7.Доверительные интервалы
Ответ: верхняя граница = 124,2
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 10, t = 2,228
Предельная ошибка
E = 2,228·14,5/√11 = 9,741
Интервал
114,5 ± 9,741 → [104,8, 124,2]
Ответ
верхняя граница = 124,2
8.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 9,477 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 29·11,9² = 4107
Границы для σ²
4107/45,722 = 89,82
4107/16,047 = 255,9
Граница для σ
σ = √89,82 = 9,477 µm
Ответ
σ = 9,477 µm
95 % интервал для σ: [9,477, 16] µm.
9.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 2,4
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 5/√25 = 5/5 = 1
Статистика критерия
t = (102,4 − 100)/1 = 2,4
Ответ
t = 2,4
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
10.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: n = 62
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Выразите n
n = (1,96·12/3)² = 61,47
Округлите вверх
n = 62
Ответ
n = 62
11.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = 0,9673
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 394/5 = 78,8
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
Syy = Σ(y − ȳ)² = 538,8
Коэффициент корреляции
r = 142/√(40·538,8) = 0,9673
Ответ
r = 0,9673
12.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 21,5
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 129/6 = 21,5
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 207
Линия регрессии
b = 207/70 = 2,957
a = 21,5 − 2,957·7 = 0,8
ŷ = 0,8 + 2,957·x
Прогноз
ŷ = 0,8 + 2,957·7 = 21,5
Ответ
ŷ = 21,5
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1