Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 20, 14, 56, 12, 33, 17.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 57,2.

μ = 50σ = 12x = 57,2

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,35, 0,3, 0,3

σ =

4.ВероятностьСложная

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,25

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 10 из них меньше 117,5 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10< 117.5 kg

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Доверительные интервалыСредняя

У 16 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −8,9 и стандартное отклонение 3,2. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 16d̄ = −8,9s_d = 3,299%t(15) = 2,947

нижняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 88,5 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Группа участков 2: 8 участков, среднее 80 kg, стандартное отклонение 3 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 88,5s₁ = 2,5n₂ = 8x̄₂ = 80s₂ = 390%t(15) = 1,753

нижняя граница = kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 98,88 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 98,88s = 5n = 16

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 200,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 200,2σ = 4n = 10095%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 43?

n = 6ŷ = 43

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 16,75

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 152/6 = 25,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,333)² + (−11,33)² + 30,67² + (−13,33)² + 7,667² + (−8,333)² = 1403

Стандартное отклонение

s = √(1403/5) = 16,75

Ответ

s = 16,75

2.Описательная статистика

Ответ: z = 0,6

Стандартизуйте

z = (57,2 − 50)/12 = 0,6

Ответ

z = 0,6

3.Вероятность

Ответ: σ = 0,9097

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,05 + 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,85

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,3 = 4,25

Дисперсия

Var(X) = 4,25 − 1,85² = 0,8275

σ = √0,8275 = 0,9097

Ответ

σ = 0,9097

4.Вероятность

Ответ: P = 0,1584

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,75¹² = 0,03168

P(X = 1) = 12·0,25·0,75¹¹ = 0,1267

Сложите

P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584

Ответ

P = 0,1584

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1611

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Стандартизуйте

z = (117,5 − 120)/2,53 = −0,99

Вероятность

P = Φ(−0,99) = 0,1611

Ответ

P = 0,1611

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 189,5 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Ответ

x = 189,51 cm

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −11,26 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 15, t = 2,947

Предельная ошибка

E = 2,947·3,2/√16 = 2,358

Интервал

−8,9 ± 2,358 → [−11,26, −6,542]

Ответ

нижняя граница = −11,26 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 6,162 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (8·2,5² + 7·3²)/15 = 7,533

s_p = 2,745

Предельная ошибка

E = 1,753·2,745·√(1/9 + 1/8) = 2,338

Интервал

8,5 ± 2,338 → [6,162, 10,84]

Ответ

нижняя граница = 6,162 kg

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,896

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Статистика критерия

t = (98,88 − 100)/1,25 = −0,896

Ответ

t = −0,896

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 201

Предельная ошибка

E = 1,96·4/√100 = 0,784

Граница интервала

U = 200,2 + 0,784 = 201

Ответ

U = 201

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9892

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 314/5 = 62,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 500,8

Коэффициент корреляции

r = 140/√(40·500,8) = 0,9892

Ответ

r = 0,9892

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,654

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 283/6 = 47,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39,5

Линия регрессии

b = 39,5/17,5 = 2,257

a = 47,17 − 2,257·4,5 = 37,01

ŷ = 37,01 + 2,257·x

Найдите x

x = (43 − 37,01)/2,257 = 2,654

Ответ

x = 2,654

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1