Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 37, 38, 12, 60, 39, 33.

n = 6

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 50?

μ = 60σ = 5x = 50

P =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 8 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 8

P =

4.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 8p = 0,4k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 28,3 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 5% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

У 20 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −1,7 и стандартное отклонение 6,8. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 20d̄ = −1,7s_d = 6,899%t(19) = 2,861

нижняя граница = mmHg

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 31. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 31E = 499%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 7 студентов, средний балл 25, стандартное отклонение 3. Группа 2: 5 студентов, средний балл 13,2, стандартное отклонение 10. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 7x̄₁ = 25s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 13,2s₂ = 10

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 295%

n =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 288Σx² = 55Σy² = 16738Σxy = 898

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 85?

n = 5ŷ = 85

x =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 15,32

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 219/6 = 36,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 0,5² + 1,5² + (−24,5)² + 23,5² + 2,5² + (−3,5)² = 1174

Стандартное отклонение

s = √(1174/5) = 15,32

Ответ

s = 15,32

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

3.Вероятность

Ответ: P = 0,7674

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Ответ

P = 0,7674

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2787

Формула Бернулли

P(X = 3) = 56·0,4³·0,6⁵ = 56·0,064·0,07776 = 0,2787

Ответ

P = 0,2787

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9306

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Ответ

P = 0,9306

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 566 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,95

z из таблицы

z ≈ 1,64

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Ответ

x = 566 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −6,05 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 19, t = 2,861

Предельная ошибка

E = 2,861·6,8/√20 = 4,35

Интервал

−1,7 ± 4,35 → [−6,05, 2,65]

Ответ

нижняя граница = −6,05 mmHg

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 399

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·31/4)² = 398,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 399

Ответ

n = 399

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,991

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (6·3² + 4·10²)/10 = 45,4

s_p = 6,738

Стандартная ошибка

SE = 6,738·√(1/7 + 1/5) = 3,945

Статистика критерия

t = (25 − 13,2)/3,945 = 2,991

Ответ

t = 2,991

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 385

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,96·20/2)² = 384,2

Округлите вверх

n = 385

Ответ

n = 385

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8802

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 898 − 15·288/5 = 34

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 16738 − 288²/5 = 149,2

Коэффициент корреляции

r = 34/√(10·149,2) = 0,8802

Ответ

r = 0,8802

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 25,63

Средние

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 396/5 = 79,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 321

Линия регрессии

b = 321/90 = 3,567

a = 79,2 − 3,567·24 = −6,4

ŷ = −6,4 + 3,567·x

Найдите x

x = (85 − (−6,4))/3,567 = 25,63

Ответ

x = 25,63

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1