Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 19, 25, 10, 36, 34.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 54.

μ = 70σ = 20x = 54

z =

3.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,35, 0,1, 0,15, 0,35

Var(X) =

4.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 8p = 0,4k = 3

P =

5.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них превышает 475,8 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 475,8 g

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 45 h, известное стандартное отклонение 7 h. Модель 2: 30 телефонов, среднее 32 h, известное стандартное отклонение 11 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 45 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 32 hσ₂ = 11 h99%

верхняя граница = h

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 36. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 36E = 295%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 78,43 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,43s = 20n = 49

t =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 48,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 48,8σ = 4n = 4999%

L =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 25Σy = 333Σx² = 165Σy² = 23375Σxy = 1879

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (19,5, 56). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(19,5, 56)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 10,76

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 124/5 = 24,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−5,8)² + 0,2² + (−14,8)² + 11,2² + 9,2² = 462,8

Стандартное отклонение

s = √(462,8/4) = 10,76

Ответ

s = 10,76

2.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (54 − 70)/20 = −0,8

Ответ

z = −0,8

3.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,94

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,15 + 5·0,35 = 3,4

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,15 + 25·0,35 = 13,5

Дисперсия

Var(X) = 13,5 − 3,4² = 1,94

Ответ

Var(X) = 1,94

4.Вероятность

Ответ: P = 0,2787

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 56·0,4³·0,6⁵ = 56·0,064·0,07776 = 0,2787

Ответ

P = 0,2787

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8438

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 480 g, σ_T = 1,2·√12 = 4,157 g

Стандартизуйте

z = (475,8 − 480)/4,157 = −1,01

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Ответ

P = 0,8438

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 449 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Ответ

x = 449 h

7.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 19,13 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 45 − 32 = 13

Стандартная ошибка

SE = √(7²/30 + 11²/30) = 2,38

Предельная ошибка

E = 2,576·2,38 = 6,132

Интервал

13 ± 6,132 → [6,868, 19,13]

Ответ

верхняя граница = 19,13 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1245

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·36/2)² = 1245

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1245

Ответ

n = 1245

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,201

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857

Статистика критерия

t = (78,43 − 75)/2,857 = 1,201

Ответ

t = 1,201

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 47,33

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√49 = 1,472

Граница интервала

L = 48,8 − 1,472 = 47,33

Ответ

L = 47,33

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9779

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1879 − 25·333/5 = 214

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 23375 − 333²/5 = 1197

Коэффициент корреляции

r = 214/√(40·1197) = 0,9779

Ответ

r = 0,9779

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,695

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 410/6 = 68,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447

Линия регрессии

b = 447/157,5 = 2,838

a = 68,33 − 2,838·25,5 = −4,038

ŷ = −4,038 + 2,838·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −4,038 + 2,838·19,5 = 51,3

Остаток

e = 56 − 51,3 = 4,695

Ответ

e = 4,695

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1