Основы статистики: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

2Тренировочные задачи

1.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 26, 54, 10, 52.

n = 5

s =

2.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений меньше 150?

μ = 170σ = 20x = 150

P =

3.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 7 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 7

P =

4.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 10X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,1, 0,3, 0,35Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 70 и 122,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 122,5

P =

6.Нормальное распределениеСложная

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Доверительные интервалыСредняя

99 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 10,7. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 200 наблюдений?

99%n₁ = 100E₁ = 10,7n₂ = 200

E₂ =

8.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 11. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 11E = 1,599%

n =

9.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 78,5 mm, известное стандартное отклонение линии 15 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 69,8 mm, известное стандартное отклонение 15 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 78,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 30x̄₂ = 69,8 mmσ₂ = 15 mm

z =

10.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 495,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 495,1σ = 15n = 4995%

U =

11.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

12.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 57). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 57)

e =

3Растворы

1.Описательная статистика

Ответ: s = 19,51

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 192/5 = 38,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,6² + (−12,4)² + 15,6² + (−28,4)² + 13,6² = 1523

Стандартное отклонение

s = √(1523/4) = 19,51

Ответ

s = 19,51

2.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1587

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

3.Вероятность

Ответ: P = 0,7209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Ответ

P = 0,7209

4.Вероятность

Ответ: σ_Y = 14,99

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 3,55, Var(X) = 2,248, σ_X = 1,499

Линейное преобразование

σ_Y = |10|·1,499 = 14,99

Ответ

σ_Y = 14,99

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 10·3,55 + 20 = 55,5.

5.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9104

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (122,5 − 100)/15 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−2) = 0,9332 − 0,02275 = 0,9104

Ответ

P = 0,9104

6.Нормальное распределение

Ответ: x = 254,2 g

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Ответ

x = 254,21 g

7.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 7,566

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/200) = 0,7071

Новая предельная ошибка

E₂ = 10,7·0,7071 = 7,566

Ответ

E₂ = 7,566

8.Доверительные интервалы

Ответ: n = 357

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·11/1,5)² = 356,9

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 357

Ответ

n = 357

9.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,786

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(15²/100 + 15²/30) = √9,75 = 3,122

Статистика критерия

z = (78,5 − 69,8)/3,122 = 2,786

Ответ

z = 2,786

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

10.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 499,3

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·15/√49 = 4,2

Граница интервала

U = 495,1 + 4,2 = 499,3

Ответ

U = 499,3

11.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,8838

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 122/6 = 20,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 53,33

Коэффициент корреляции

r = −27/√(17,5·53,33) = −0,8838

Ответ

r = −0,8838

12.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,5

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 253/5 = 50,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 18

Линия регрессии

b = 18/10 = 1,8

a = 50,6 − 1,8·3 = 45,2

ŷ = 45,2 + 1,8·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 45,2 + 1,8·3,5 = 51,5

Остаток

e = 57 − 51,5 = 5,5

Ответ

e = 5,5

Точка лежит выше прямой.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1